Combinatoria

INTRODUCCIÓN
Combinatoria, rama de las matemáticas que estudia las posibles agrupaciones de objetos tomados de un conjunto dado; es de gran importancia en otras ramas de las matemáticas. Por ejemplo, se utiliza para el desarrollo del binomio de Newton; en la teoría de la probabilidad y en estadística (para calcular el número de casos posibles de un sistema). También tiene importantesaplicaciones en el diseño y funcionamiento de ordenadores o computadoras, así como en las ciencias físicas y sociales. De hecho, la teoría combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas áreas en donde tengan relevancia las distintas maneras de agrupar un número finito de elementos.
Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto. Por ejemplo, si se toma una baraja con cuarentacartas, cada una de las distintas formas en que se pueden repartir 4 cartas es una variación de las 40 cartas tomadas de cuatro en cuatro. El número de variaciones de n elementos tomados de k en k se denota V_n,k,_ cuyo valor viene dado por la fórmula general
Vn,k= n!n-k!
donde n! —leído '_n_ factorial'— representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 pordefinición.
Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden ordenar los n elementos de un conjunto. Si se toma una baraja que sólo tenga una sota (S), un caballo (C), un rey (R) y un as (A), cada una de las formas en que estas cartas se pueden repartir es una permutación. En este ejemplo hay 24 posibilidades: SCRA SCAR SRAC SRCA SACR SARC CSRA CSAR CRAS CRSA CASR CARS RCSA RCAS RSAC RSCARACS RASC ACRS ACSR ARSC ARCS ASCR ASRC. El número de posibles permutaciones se puede calcular observando lo que ocurre al repartir las cartas: la primera carta repartida puede ser una de las 4 posibles cartas, la segunda es una de las tres restantes, la tercera es una de las dos posibles y finalmente sólo queda una cuarta carta. Esto da un número total de permutaciones igual a 4 × 3 × 2 × 1 = 24,que se puede escribir como 4!. En general, hay n! permutaciones en las que colocar n elementos en orden.
El número de permutaciones de n elementos se denota Pn. Las permutaciones son un caso particular de las variaciones Pn = _Vn,n_ = n! cuando el número de elementos del conjunto de objetos es igual al de cada uno de los conjuntos ordenados.
Las combinaciones son agrupaciones de objetos enlas que no importa su orden. Siguiendo con el ejemplo del reparto de cartas, normalmente no importa el orden en que se reciben éstas. El número de posibles combinaciones de la mano recibida por un jugador es igual al número de variaciones en que las cartas se podían haber repartido, dividido por el número de posibles formas de ordenar la mano. Por ejemplo, hay V40,4 formas de repartir 4 cartas deuna baraja de 40, y hay P4 de ordenar dichas cartas. Por tanto, hay V40,4/_P_4 posibles combinaciones. En general, el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k se escribe _Cn,k_, y su valor está dado por la siguiente fórmula:
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Combinatoria
La combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (_combinatoria enumerativa_) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (_combinatoria _extremal). Uno de los más destacadoscombinatorialistas de los últimos tiempos ha sido Gian-Carlo Rota, cuyas contribuciones han ayudado a formalizar el tema desde la década de 1960. El prolífico matemático Paul Erdős trabajó principalmente en problemas extremales. El estudio de cómo contar objetos es a veces considerado por separado como el campo de la enumeración.
La combinatoria analiza todo tipo de posibilidades al momento de...