Combinatoria

Matemáticas
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TEMA 4
ANÁLISIS COMBINATORIO

4.1.- Introducción
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar
agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.
Ejemplo
¿Cuantas matrículas de coche puede haber con el nuevo sistema de numeración de placas? ¿Cuantasformas tengo de rellenar una “Lotería Primitiva”? ¿Y una Quiniela? ¿De cuántas formas puedo ordenar los libros
de una estantería? A estos tipos de preguntas son a los que puede dar respuesta el Análisis Combinatorio.

El Análisis Combinatorio es una técnica de recuento.
Para una correcta interpretación del Análisis Combinatorio de ha de tener en cuenta:
1. ¿Intervienen todos los elementos?2. ¿Importa el orden de los elementos seleccionados?
3. ¿Se pueden repetir los elementos seleccionados?

4.2.- Regla del Producto de Opciones
Si un proceso consta de varias etapas, en la primera de las cuales hay n1 opciones distintas
entre las que elegir, en la segunda n2 opciones, en la tercera hay n3 opciones, etc. El número total de
opciones en la construcción de este proceso es elproducto:

n1 ⋅ n2 ⋅ n3 ...
Ejemplo
Un grupo de amigos está planeando donde ir de vacaciones. Las opciones son Salamanca, Granada,
Santander, Gerona y además tienen que decidir si van en tren, coche o autobús.
El número total de opciones son 4·3 = 12

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4.3.- Permutaciones
4.3.1.- Permutaciones sin repetición
Si tengo nobjetos { a1, a2, a3,..., an}, los puedo colocar ordenadamente de muchas maneras:
a1, a2, a3, ..., an
a1, a3, ..., an, a2
a2, an, ..., a3, a1
etc.
Cada uno de estos grupos decimos que es una permutación de los n elementos.
El número de permutaciones de n elementos se denota por Pn y equivale a:

Pn = n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2)... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

n! se lee "factorial de n".
A la hora deidentificar un problema de permutaciones es necesario tener en cuenta:
Selección:

NO

Orden:

SI

Repetición:

NO

Para formar un grupo se toman todos los
elementos, no hay que seleccionar unos pocos.
Hay que tener en cuenta el orden en que se
colocan los elementos; si se altera el orden, se
tiene un grupo distinto.
No se repiten los elementos dentro de un mismo
grupo

EjemploSi tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, los puedo colocar ordenadamente de muchas maneras:
{a, c, b, d, e}, {d, b, e, a, c},…{c, e, b, a, d}
Cada ordenación decimos que es una permutación de estos 5 elementos. El número de permutaciones de 5
elementos se denota por P5 y equivale a:
P5 = 5·4·3·2·1 = 120

El producto anterior 5·4·3·2·1 se escribe abreviadamente 5! y se lee "factorial de 5".2/14

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4.3.2.- Permutaciones con repetición
Si tengo n objetos {a1, a2, ..., an} , los puedo colocar ordenadamente de manera que se repitan n1
veces el primero, n2 veces el segundo, ..., y nn veces el n-esimo, formando grupos ordenados que
reciben el nombre de permutaciones con repetición. El elemento i-estimo se puede repetirni veces o
presentarse ni veces de manera indistinguible.
El número de permutaciones con repetición de n elementos donde el primero se repite n1
veces, el segundo n2 veces… es:

Pn

n1 , n 2 ... n n

=

n!
n1!⋅n2 !...nn !

Para identificar un problema de permutaciones con repetición:
Selección:
Orden:

SI

Repetición:

Para formar un grupo se toman todos los
elementos, no hayque seleccionar unos pocos.
Hay que tener en cuenta el orden en que se
colocan los elementos; si se altera el orden, se
tiene un grupo distinto.
Si se repiten los elementos dentro de un mismo
grupo

NO

SI

Ejemplo
Sea las 16 fichas del parchís (4 amarillas, 4 rojas, 4 verdes, 4 azules) puestas unas encima de otras
¿cuántas torres de colores se pueden formar?

P
16

4, 4, 4, 4...