Complejas

Desigualdades básicas de la matemática.  |
1. Comenzaremos con la desigualdad triangular del valor absoluto de números reales
 Para x, y  números reales se cumple
| x + y | ≤ | x | +  | y |.
Demostración: Para x e y se verifican las desigualdades:
- | x | ≤ x ≤ | x |
- | y | ≤ y ≤ | y |
Sumando ambas desigualdades tenemos
- (| x |  +| y |  ) ≤ x  + y ≤  | x | + | y |
y de aquí seobtiene el resultado.
2. Desigualdad del cuadrilátero. Si  a, b, c y d son números reales, entonces se tiene
a b + c d ≤ [( a2 + c2 ) ( b2 + d2)  ]½
Demostración: Elevando al cuadrado el miembro izquierdo se tiene:
( a b + c d )2  = a2 b2  + 2 a b c d +   c2 d2   ≤  a2 b2 + a2 d2 + c2 b2 + c2 d2  (1)
haciendo uso de la desigualdad 2 x y ≤ x 2+ y 2  la cual es cierta para x e y números reales.Factorizando el segundo miembro de la desigualdad (1) obtenemos
( a b + c d )2 ≤ ( a2 + c2 ) ( b2 + d2)
y de aquí se obtiene el resultado, al tomar raíces cuadradas en ambos lados.
3. Desigualdad triangular para los números complejos.
Sean Z = a + bi  y W = c + di , dos números complejos, entonces  se tiene
| Z + W |  ≤ | Z | +  | W |.
Demostración: Tenemos las igualdades
| Z + W |  2   = (Z + W ) ( Z + W ) = Z Z  + W W + Z W + Z W
                                                = | Z | +  | W | + Z W + Z W
Si logramos probar  que
                                      Z W + Z W ≤ 2 | Z | | W |                                          ( 1)
se tendrá entonces  | Z + W |  2   ≤ (| Z | + | W |)2 y de aquí se obtendrá el resultado.
Notemos que
Z W + Z W = (a + bi )(c - di) + (a-  bi )(c + di)
                                               = ac + bd - ( ad - bc ) i + ac + bd + ( ad - bc ) i 
                                               = 2 ( ac + bd )
                                                 ≤ 2 [( a 2+ b 2)( c 2+ d 2)] ½
                                                  = 2 | Z | | W | 
Nótese que hemos usado la desigualdad del cuadrilátero en lapenúltima línea.
3. Desigualdad triangular para R2.
Sean V = (a ,b) , U = ( c, d) y W = ( e, f) tres vectores del plano. Entonces se tiene
| U - V | ≤  | U - W | +   | W - V |
Demostración. Tenemos
| U - V |2  =  ( c - a )2 + ( d - b)2  =  [( c - e) + ( e - a )] 2 + [( d - f ) + ( f - b)]2
                =     ( c - e )2 + ( e - a)2 + 2 ( c- e)( e-a) + ( d - f )2 + ( f - b)2 + 2 ( d -f)( f- b).Usando la desigualdad del cuadrilátero, se tiene :
2 ( c- e)( e-a) + 2 ( d -f)( f- b) ≤ 2 [ ( c - e )2 + ( d - f )2 ]½ [ ( e - a)2   +  ( f - b)2 ]½
Nótese que  | U - W | = [ ( c - e )2 + ( d - f )2 ]½  y  | W - V | = [ ( e - a)2   +  ( f - b)2 ]½
Luego
| U - V |2  ≤ | U - W | 2+ 2 | U - W|  | W - V | +  | W - V | 2 =  [ | U - W | + | W -V | ]2
y tomando maíces cuadradas en ambos lados nosproduce el resultado deseado.

1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA UNIDAD Nro 1 |

1. 5. 3  Ejercicios Propuestos Sobre Números Complejos |
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1. Verifique las siguientes igualdades entre complejos :              |
 
 
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2. Sea z un número complejo . Pruebe que :      es imaginario puro.  |
 
 
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3. Dado que z = x+ yi . Demuestre que:      es imaginario puro   | 
 
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4. Pruebe que:  es imaginario puro.  |
 
 
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5. Sean  números complejos que verifican , para cada   j = 1,2,….,n. Sea  y tal que : .Demuestre que :   .  |
 
 
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6. Pruebe la siguiente desigualdad :      Ayuda: Para la primera desigualdad, use el siguiente resultado:   y sume en ambos miembros .   Para la segunda, use el siguiente resultado: y sume en  ambos miembros .   |
 
 
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7. En cada uno de los siguientes literales, determine los complejos z que verifican la igualdad.   a) (1+ i) + z = - i.  -> z = -1-zi b) z = i (1+ i).  -> z = -1+ i  c) z = - i (1+i).   d) iz = (1+i)(1-i).  |
 
 
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8. Determine los complejos z = x + yi que verifican las siguientes relaciones :   a)    b)    c)    d)    f)    |
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