Complejos

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Numeros complejos. Exponencial compleja
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El camino más corto entre dos verdades del análisis
real pasa con frecuencia por el análisis complejo.
Jaques Hadamard

3.1. Un poco de historia
Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia
desu utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos
hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no
fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano
(1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de lasraíces de la cúbica o
ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo “imaginarias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números
complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la
solución de unproblema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el problema no tiene solución. Para Leibniz “el número imaginario es un recurso sutil y maravilloso
del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.”
Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema
bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con losnúmeros complejos.
Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no
se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.
El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se
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Operaciones básicas con números complejos

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preocuparon de la “naturaleza” de los mismos; no se preguntaron “¿qué es unnúmero complejo?”, sino que se dijeron “a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos”. Es Gauss
quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las matemáticas al probar en 1799 el resultado conocido como Teorema Fundamental del álgebra que
afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz
se cuenta tantas vecescomo su orden, n raíces que también son números complejos. Merece la
pena que entiendas bien lo que afirma este resultado. Fíjate en cada una de las ecuaciones:
x C 3 D 0;

2x C 3 D 0;

x2

2 D 0;

x 2 C 2x C 2 D 0

Cuyas soluciones
x D 3;

x D 3=2 ;

p
x D ˙ 2;

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tienen sentido cuando x es, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Podría ocurrir queeste proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá si
ahora consideramos ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:
p
p
x 5 C .1 i /x 4 C .1=5 i 2/x 2 8x C 3 i = 3 D 0
¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El Teorema Fundamental del álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son números
complejosy, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números.
El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra “i ” que Euler (1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta
los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el
nacimiento de la teoría de funciones devariable compleja, pues se publica en dicho año la
Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814.
Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útiles
para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre
que representamos una señal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que ése
es el...