comportamientos no lineales

1 Comportamientos no lineales
En la mayoría de las prácticas de física, las leyes que se han de verificar siguen una dependencia lineal

Sin embargo, no hay que pensar que ésta es la forma general de una dependencia entre funciones. Las magnitudes se relacionarán en general por fórmulas de lo más variopintas (exponenciales, polinomios, logaritmos, funciones trigonométricas) y en muchos casosni siquiera existe una fórmula conocida que permita relacionar dos magnitudes.
La ventaja de las rectas de mejor ajuste es que son las más sencillas. Disponemos de fórmulas para la pendiente, la ordenada en el origen y sus respectivas incertidumbres, y podemos representarlas fácilmente. Por ello, siempre que sea posible, es preferible reducir el problema a una dependencia lineal.
1.1Reducción a una forma lineal
A modo de ejemplo, si tenemos el problema de de una partícula que cae desde una cierta altura, y medimos el tiempo de caída, podemos obtener una tabla como la siguiente



0.54
140
0.50
120
0.45
100
0.41
80
0.36
60
0.28
40
La teoría nos dice que el tiempo que tarda en caer cumple

Por ello la gráfica teórica de h frente al tiempo es unaparábola. Si representamos la altura frente al tiempo, obtenemos una serie de puntos no alineados
Aunque podemos ajustar una recta de mínimos cuadrados, esto no sirve absolutamente de nada, porque ni los puntos están alineados, ni la pendiente de esa recta tiene significado físico.
En cambio, si representamos h frente al cuadrado del tiempo, añadiendo una nueva columna


t2(s2)

0.54
0.292(11)140
0.50
0.250(10)
120
0.45
0.202(9)
100
0.41
0.168(8)
80
0.36
0.130(7)
60
0.28
0.078(6)
40
Nótese que ahora cada dato tiene un error diferente, y para abreviar hemos empleado la notación compacta

De esta forma, la nueva dependiencia teórica es lineal, ya que

La gráfica en este caso si es aproximadamente recta, y de su pendiente podemos hallar el valor dela aceleración de la gravedad

1.2 Dependencia exponencial
Uno de los casos más frecuentes de relación no lineal es del comportamiento exponencial.
Supongamos el movimiento de una partícula que, por efecto del rozamiento, tiene una velocidad decreciente, de forma que tras una serie de medidas obtenemos la tabla de datos siguiente



60
2.13
120
1.49
180
1.07
240
0.74300
0.53
360
0.38
En este caso, el decaimiento es claramente no lineal, y un ajuste a estos datos de una recta por mínimos cuadrados no nos sirve de nada.
Por la forma en que decrece la velocidad, o por razones teóricas, podemos suponer un decaimiento exponencial
v = Ke − λt
Para reducir esto a una recta, tomamos logaritmos en los dos miembros queda
ln(v) = ln(K) − λt
que podemosreescribir como

esto es, el resultado es una recta que nos da los parámetros K y λ. Para calcular estos parámetros tomamos el logaritmo de la velocidad como una nueva columna



ln(v)
60
2.13
0.756(5)
120
1.49
0.399(7)
180
1.07
0.068(9)
240
0.74
0.301(14)
300
0.53
0.635(19)
360
0.38
-0.968(26)
El factor del exponente coincide con la pendiente de larecta, mientras que el prefactor K vale
K = eA
Los errores de λ y K serán

Para obtener gráficamente una recta en este caso deberemos representar ln(v) frente a t. Vemos que en este caso, la gráfica es claramente lineal y es adecuado emplear el método de mínimos cuadrados.
Para nuestro ejemplo, resulta

y en términos de K y λ

Algunas observaciones respecto a las unidades y errores en unarecta exponencial:
Antes de tomar logaritmos es importante que todos los datos cuyo logaritmo se va a tomar (las velocidades en este caso) se expresen todos ellos en las mismas unidades (p.ej. o todos en m/s, o todos en km/h, pero no algunos de una forma y otros de otra). De no hacerse así los resultados serán incorrectos.
Un logaritmo es siempre una cantidad adimensional, por ello, la...