concepto de método gráfico

Concepto de método gráfico 

Los modelos de programación lineal que tienen sólo dos variables de decisión se pueden resolver mediante el método gráfico. Este método es de poca importancia en lo relacionado a una aplicación directa a problemas prácticos, debido a que los problemas prácticos significativos involucran más de dos variables. Sin embargo el propósito es aprender una idea geométricade la naturaleza del problema, que será valiosa cuando se considere el método algebraico más abstracto para el problema como veremos pueden ocurrir diversas situaciones diferentes en conexión con los problemas de dos variables y cada una tiene una solución para los de n variables, n>2. 

Los pasos a seguir para obtener una solución óptima (si existe) de los modelos de programación lineal por elmétodo gráfico son: 



ü
Plantear en forma matemática el problema.  


ü
Graficar las restricciones.  


ü
Graficar la función objetivo  


ü
Determinar los valores de las variables en el punto que arroje las máximas utilidades o los mínimos costos.  
Determinación del área de solución factible
 

La obtención de una representación gráfica de la región factible es el primerpaso del procedimiento de resolución por el método gráfico. 

Para la identificación de la región factible se debe realizar lo siguiente para cada restricción del modelo de PL. 

ü
Reemplazar el signo de desigualdad con un signo de igualdad  


ü
Trazar la recta resultante encontrando dos puntos distintos en esa línea.  


ü
Identificar el lado factible de la recta.  





Laregión factible, entonces, consiste en aquellos puntos que satisfacen todas las restricciones simultáneamente. Un problema de programación lineal que involucra la optimización de una función de dos variables, puede tener: 

1.
Ninguna solución factible  


2.
Exactamente una solución factible  


3.
Una infinidad de soluciones factibles.  






1.
No existe ninguna soluciónfactible \ el problema no tiene solución  




 

figura 3.1 Ninguna solución factible.  


 





2.
Solución factible única y además óptima  






  





figura 3.2 Exactamente una solución factible.  





 





3.
Infinidad de soluciones factibles  






 


  





figura 3.3 Infinidad de soluciones factibles.  

Comportamiento de lafunción objetivo 
 

Trazar la recta de la función objetivo en la grafica nos permite identificar de forma más objetiva la solución óptima del modelo de PL. Para obtener la solución óptima se siguen los siguientes pasos: 



ü
Seleccionar cualquier punto dentro de la región factible, tomando en cuenta a la ecuación de la función objetivo..  


ü
Trazar la recta de la función objetivo através del punto elegido.  


ü
Determinar el lado de mejora de la recta de la función objetivo.  


ü
Mover la recta de la función objetivo en forma paralela a sí misma en la dirección de mejora hasta que la recta esté a punto de dejar la región factible. (El punto extremo final es la solución óptima al modelo de PL.)  


ü
Calcular los valores de las variables en la solución óptimaresolviendo las dos ecuaciones de las dos rectas que pasan por ese punto.  





Un problema de programación lineal que involucra la optimización de una función de dos variables puede tener: 



1.
Ninguna solución óptima  


2.
Exactamente una solución óptima  


3.
Una infinidad de soluciones óptimas  






 



1.   Ninguna solución óptima. 

a). Se identificaninfinidad de soluciones factibles pero ningún punto como solución óptima, porque siempre habrá una mejor solución por ser un problema no-acotado. 

 

figura 3.4 

 


b). No se identifica región de soluciones factibles por lo tanto tampoco solución óptima. Es un problema que no tiene solución.  


 





  



figura 3.5 

 





2.
Exactamente una solución...