Conceptos basicos

PROGRAMACIÓN NO LINEAL
Para un PL (programación lineal), el objetivo era maximizar o minimizar una función lineal sujeta a restricciones lineales. Pero en muchos problemas la función objetivo es una función lineal o es posible que algunas de las restricciones no sean lineales. A este tipo de problema se le llama programación no lineal (PNL)

3.1 Conceptos básicos de problemas de programaciónno lineal
DEFINICIÓN

Se puede expresar un problema de programación no lineal (PNL) de la siguiente manera: Encuentre los valores de las variables de decisión x1, x2, … , xn que:
Max (o min) z = f (x1, x2, … , xn)
s.a g1 (x1, x2, … , xn) (<, = o >) b1
s.a g2 (x1, x2, … , xn) (<, = o >) b2 (1)
s.a gm (x1, x2, … , xn) (<, = o >) bmComo en la programación lineal z es la función objetivo del problema de programación no lineal y g1 (x1, x2, … , xn) (<, = o >) b1; g2 (x1, x2, … , xn) (<, = o >) b2; … gm (x1, x2, … , xn) (<, = o >) bm son las restricciones del problema de programación no lineal.

Un problema de programación no lineal es un problema de programación no lineal no restringido.

Los siguientessubconjuntos de R1 (llamados intervalos) serán de particular interés:

[a, b] = todas las x que satisfacen a < x < b
[a, b) = todas las x que satisfacen a < x < b
(a, b] = todas las x que satisfacen a < x < b
(a, b) = todas las x que satisfacen a < x < b
[a, ∞) = todas las x que satisfacen x > a
[-∞, b ] = todas las x que satisfacen x < bDEFINICIÓN

La región factible para el problema de programación no lineal es el conjunto de puntos (x1, x2, … , xn) que satisfacen las m restricciones de (1).
Supóngase que (1) es un problema de maximización.

DEFINICIÓN

Cualquier punto X en la región factible, para el cual se tiene que f (X ) > f (X ) para todos los puntos X de la región factible, es una solución óptima para el problema deprogramación no lineal.
(Para un problema de minimización, X es la solución óptima si f (X ) < f (X ) para toda X factible)

Por supuesto, si g1 (x1, x2, … , xn) son funciones lineales, entonces (1) será un problema de programación lineal y puede resolverse mediante el algoritmo simplex.

EJEMPLOS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Ejemplo N° 1
A una compañía le cuesta c UM por unidad fabricar unproducto. Si la compañía cobra p UM por unidad de producto, los clientes pedirán D(p) unidades. Para maximizar las ganancias, ¿qué precio tendría que poner la compañía?
Solución
La variable de decisión de la empresa es p
Dado que la ganancia de la empresa es ( p - c) D( p) , la empresa querrá resolver el siguiente problema de maximización sin restricción:
( p - c)D( p) máximo

Ejemplo N° 2Si se utilizan K unidades de capital y L unidades de trabajo, una compañía puede producir KL unidades de un bien manufacturado. Se puede conseguir el capital a 4 UM/unidad y el trabajo a 1 UM/unidad. Se dispone de un total de 8 UM para contratar capital y trabajo. ¿Cómo puede la compañía maximizar la cantidad de bienes que se pueden fabricar?
Solución
Sea K = unidades de capital contratadas y L= unidades de trabajo compradas; entonces K y L deben satisfacer 4K + L < 8; K > 0; L > 0
Por lo tanto, la compañía quiere resolver el siguiente problema de maximización restringido:
Max z = KL
4K + L < 8
K, L > 0

EXTREMOS LOCALES
DEFINICIÓN
Para cualquier problema de programación no lineal (una maximización), un punto factible X=(x1, x2, … , xn) es un máximo local si paraun ξ suficientemente pequeño, cualquier punto factible X’=(x’1, x’2, … , x’n) con |xi – x’i| ξ (i=1,2, … ,n) satisface f (X) > f (X’)
En resumen, un punto X es un máximo local si f (X ) > f (X’ ) para todo X’ factible que esté cerca de X. Análogamente, un punto X es un mínimo local si f (X ) < f (X’ ) para todo X’ que esté cerca de X.

Un punto que es un máximo local o un mínimo...