Conceptos de limite y continuidad de una función.

Generalización del concepto de Limite para N V.I.

Consideramos una función F = f(x1, x2, …, xn) y un punto p(a1, a2, …, an) donde la función puede o no puede existir. Si la función tiene límite Len el punto p podemos decir de manera informal que la función F tiende hacia el límite L cerca de P si se puede hacer que F esté tan cerca como queramos de L.

El límite de F, cuando tiende tiende ap es L si se cumple que:
Para todo E > 0 existe un J > 0, función de E, tal que para todos los Xn pertenecientes al entorno:
(x1-a1)^2 + (x2-a2)^2 + … + (xn-an)^2 < J^2 → F – L < E

Formas deCalcular el Limite para 2 Variables Independientes

Limite Doble: Cuando las 2 variables tienden juntas al punto.
Lim F
(x,y) → p

Limite Sucesivo: Considerando un supuesto limite en p(a,b), loque se hace es dejar una variable independiente constante en un primer momento(y), dejando la otra como variable(x), hacer tender la variable(x) hacia a, y luego la que dejamos como constante(y)considerarla variable y hacerla tender al b, dejando a x como constante. También se puede pensar de forma contraria, dejando constante en un primer momento a x y luego a y.

L.S.1 → Lim [ Lim F ]y→b x→a
x→cte y→cte
L.S.2 → Lim [ Lim F ]
y→cte x→cte
x→a y→b

Limite Radial: Admitimos que existe una relaciónlineal entre x e y, donde la aproximación al punto se realiza mediante rectas, todas pasantes por p, las condiciones que vinculan x e y son las siguientes:
Y = m(x-a)+b → Siendo a y b coordenadas delpunto p P(a,b).

También se puede pensar otro tipo de relaciones entre x e y (Limite parabólico)

Propiedades:
Si existe el limite doble, todos los otros limites y tiene que ser iguales a este.La existencia de los demás limites (sucesivo, radial, parabólico) no implica que el limite doble exista.
Uno puede suponer que si los tres son iguales, el limite doble debe ser igual (siendo una...