Conceptos fundamentales de álgebra

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CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA

Los números, como los conocemos comúnmente y de la forma en que los llamamos, es decir, al momento de hablar de números positivos o negativos, fraccionarios, radicales, etc., se hace una generalización de los mismos y no se les toma mucha importancia a lo que le podríamos llamar “tipo de números”, de tal manera obtenemos:

❖ Números naturales: tambiénllamados enteros positivos, son aquellos con los que contamos comúnmente.

❖ Números enteros: son todos los números con sus opuestos negativos incluido el cero.

❖ Números racionales: son aquellos que se ven como el cociente de dos enteros [pic], pero con la condición de que el denominador “B” debe ser diferente de cero. Ejemplo: [pic]

❖ Números reales: son aquellos que incluyenlos números racionales e irracionales. Recordando que los numero racionales son los que puedo representar como el cociente de dos enteros [pic], los irracionales son los que no puedo representar de la manera antes mencionada.

Partiendo de lo que son los números en sus diferentes presentaciones continuaré describiendo lo diferentes casos en que se presentan los exponentes.

El exponente de unnúmero nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.

[pic]

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

• En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

El primer caso, cuando es un exponente entero positivo.

[pic] te dice que multipliques [pic]  por sí mismo, y hay [pic]de esos [pic]’s:

[pic]

El segundocaso, cuando es un exponente entero negativo.

Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número.

5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:
5-3 también se podría calcular así:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = [pic]= [pic] = 0.008
El tercer caso, exponente fraccionario positivo.
Cuando x y w son enteros positivos. Un exponente fraccionario como m/nsignifica haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima:
[pic]
Por lo cual se define que a >0 si “n” es par.
El cuarto caso, cuando el exponente es fraccionario y además negativo. Entonces decimos que:
[pic]
El quinto caso, es cuando el exponente es cero. Y queda de la siguiente manera:
[pic]

LEYES DE LOS EXPONENTES

-Primera Ley de los Exponentes.

Los exponentes se suman paramultiplicar dos potencias de la misma base.

Considera que m y n son enteros positivos:

[pic]

Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas.

-Segunda Ley de los Exponentes.

Los exponentes se multiplican par elevar unapotencia a otra potencia.

Si m y n son enteros positivos: [pic]

Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos los exponentes.

Considera la expresión [pic], que significa que [pic] está elevado al cubo. Esta expresión puede simplificarse como se muestra enseguida:

[pic]

En forma parecida [pic]

Debido a que la multiplicación es en realidad una sumaque se repite, es posible obtener los mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los exponentes.

-Tercera Ley  de los Exponentes.

Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir

Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores.

Simbólicamente: [pic]

-Cuarta Ley de losExponentes. El cociente de dos potencias de la misma base. Elévese la base a una potencia igual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

[pic]

Quinta Ley de los Exponentes. Cuando el cociente de cada fracción esta elevado a la enésima potencia.

[pic]

-LOGARITMOS-

Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de dicho número....
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