Conceptos geometricos basicos

Conceptos básicos de Geometría
Dr. Eduardo A. R ODRÍGUEZ T ELLO
C INVESTAV-Tamaulipas

14 de enero del 2010

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Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín Geometría Euclidiana Orientación de puntos Áreas y ángulos

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Geometría Afín

Geometría Afín

Existen diferentes sistemas geométricos que pueden ser usados para expresar algoritmos geométricos:
Geometría Afín Geometría Euclidiana Geometría Proyectiva Geometría Analítica

Durante el cuatrimestre trabajaremos principalmente con Geometría Afín y Euclidiana Comenzaremospor definir algunos conceptos básicos de la Geometría Afín

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Geometría Afín

Geometría Afín

Una Geometría Afín consiste de:
Un conjunto de escalares (números reales) Un conjunto de puntos un conjunto de vectores

Los puntos son usados paraespecificar posición Los vectores son usados para especificar dirección y magnitud, pero no tiene posición fija en el espacio (en contraste con la álgebra lineal donde no hay distinción entre puntos y vectores)

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Geometría Afín

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Las siguientesoperaciones pueden ser efectuadas sobre escalares, puntos o vectores. Las operaciones de Vectores son como las realizadas en álgebra lineal Es posible restar dos puntos La resta de dos puntos p − q resulta en un vector dirigido de q a p. También es posible sumar un punto a un vector p + v dando como resultado que el punto sea trasladado por v de p

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Geometría Afín

Geometría Afín

Sea S un escalar, V un vector y P un punto, las siguientes son las operaciones legales en Geometría Afín:
S · V → V multiplicación escalar y vector V + V → V suma de vectores P − P → V resta de puntos P + V → P suma punto y vector

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Geometría Afín

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A partir de las operaciones anteriores es posible derivar muchas otras Por ejemplo, se puede definir la resta de dos vectores u − v como u + (−1) · v O la división de un vector y un escalar v/α como (1/α) · v dado que α = 0 Existe un vector especial 0,llamado vector cero, el cual no tiene magnitud por lo tanto v + 0 = v No es posible multiplicar un punto por un escalar o sumar dos puntos juntos.
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Geometría Afín

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Sin embargo, hay una operación que combina estos dos elementos, llamada combinaciónafín Dados dos puntos p0 , p1 y dos escalares α0 y α1 , tales que α0 + α1 = 1, la combinación afín se define como: aff (p0 , p1 ; α0 , α1 ) = α0 p0 + α1 p1 = p0 + α1 (p1 − p0 ) El término de en medio de la ecuación no es una operación legal en Geometría Afín. Pero de esta forma es como se expresa típicamente la combinación afín (promedio ponderado de dos puntos) El término derecho si es válido
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Geometría Afín

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Es importante observar que si p0 = p1 entonces el punto aff (p0 , p1 ; α0 , α1 ) cae en la línea que une p0 y p1 Dado que α1 varia de −∞ a ∞ éste traza todos los puntos en esta línea

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