Conicas Intro

Capítulo 2
Cónicas I (presentación)
Las cónicas son una familia de curvas famosas que definieron los griegos. De ellas, la
que vemos cientos de veces al día es la elipse. Al ver la boca de un vaso, una taza o
una vasija, o bien, la llanta de un coche, vemos una elipse e inmediatamente intuimos
que en realidad se trata de un círculo, sólo que lo estamos viendo de lado. Únicamente
vemos uncírculo cuando la proyección ortogonal de nuestro ojo al plano en el que
vive el círculo es justo su centro; así que los cientos de círculos que vemos a diario
son nuestra deducción cerebral automática de las elipses que en realidad percibimos.
Para fijar ideas, pensemos que vemos con un solo ojo una taza sobre una mesa; cada
punto de su borde define una recta a nuestro ojo por donde
viaja la luzque percibimos; todas estas rectas forman un cono
con ápice ×en el punto ideal de nuestro ojo; pero no es un cono
circular sino un cono elíptico: más apachurrado entre más cerca
esté nuestro ojo al plano de la boca de la taza, y más circular
en cuanto nuestro ojo se acerca a verlo desde arriba. Resulta
entonces que si a este cono elíptico lo cortamos con el plano de
la boca de la taza nos daun círculo (precisamente, la boca de
la taza). Los griegos intuyeron entonces que, al revés, la elipse
se puede definir cortando conos circulares (definidos con base
en el círculo que ya conocían) con planos inclinados.
Hoy día lo podemos decir de otra manera: si prendemos una lámpara de mano,
de ella emana un cono circular de luz; es decir, si la apuntamos ortogonalmente a una
pared seilumina un círculo (con todo y su interior); al girar un poco la lámpara, el
círculo se deforma en una elipse que es un plano (la pared) que corta un cono circular
(el haz de luz). Entre más inclinada esté la lámpara respecto a la pared, la elipse se
alarga (como boca de taza con el ojo casi al ras) hasta que algo de la luz sale de la
pared. Pensemos entonces que la pared es infinita (un plano) y quenuestra lámpara
es infinitamente potente (un cono perfecto); al girar más la lámpara, la elipse se sigue
alargando y alargando hasta el momento en que uno de los rayos del cono no toca la
pared (es paralelo a ella). Justo en ese instante, el borde de lo iluminado en la pared es
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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

una parábola, y de allí en adelante, al continuar el giro, esuna rama de hipérbola. La
hipérbola completa se obtiene al pensar que los rayos del cono son rectas completas,
que se continúan hacia atrás de la lámpara, y entonces algunas de estas rectas (cuyos
rayos de luz ya no tocan la pared por adelante) la intersectan por atrás en la otra
rama de la hipérbola. Si continuamos el giro, pasamos de nuevo por una parábola
y luego por elipses que, viniendo deatrás, se redondean hasta el círculo con el que
empezamos, pero ahora dibujado por el haz de rayos “hacia atrás” de la lámpara que
giró 180◦ . La definición clásica de los griegos, que es equivalente, es fijando el cono y
moviendo el plano, y de allí que las hayan llamado secciones cónicas o simplemente
cónicas : la intersección de planos con conos circulares (completos).
Los geómetras griegosestudiaron con profundidad estas curvas. Lo hicieron por
amor al arte, al conocimiento abstracto y puro, por la intuición matemática de su
propia belleza y naturalidad; y dieron a la humanidad una lección fundamental de
la importancia que tiene la ciencia básica. Pues resultó, casi dos mil años después,
que estas curvas teóricas se expresaban en la naturaleza como las órbitas de los planetas(elipses descritas por Kepler) o en las trayectorias de los proyectiles (parábolas
descritas por Newton y predecesores). Sus propiedades focales, que también descubrieron los griegos, se usan hoy cotidianamente en las antenas parabólicas, en los
telescopios y en el diseño de reflectores o de las lentes de anteojos o cámaras. Su
teoría, que parecía ser un divertimento totalmente abstracto,...