Conicas

Las cónicas responden a la ecuación general del tipo F( x , y ) = 0
La ecuación general de una cónica es:
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey +
F
= 0


 
 
(I)
tér min o independiente
tér min oc cuadráti cos

tér min os lineales

Bxy término rectangular, cuando aparece este término significa la cónica esta
rotada, en esta guía sólo vamos a ver B=0(sin termino rectangular)CIRCUNFERENCIA:
• Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado
Centro y esa distancia es el radio.
2
2
2
• Ecuación Canónica: ( x − α ) + ( y − β ) = r
• Centro: (α , β )
• Radio: r
• En (I) A=B
• Cuando en (I) aparece A=B es del tipo Circunferencia, pero puede degenerar en un punto
o en no existe lugar geométrico.
1) 1.1 Halle y grafique el lugargeométrico de los puntos P(x,y)que distan 3 unidades de C(2,3).
1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas sea C(2,3).¿Cuáles son las coordenadas de C en el sistema trasladado?
1.3 Exprese la ecuación de la cónica que obtuvo en 1 tomando como referencia el sistema
(Ci,j)
1.1

C(-2.3) r=3
Reemplazamos directamente en la ecuación canónica de laCircunferencia:
(x − α )2 + ( y − β )2 = r 2
( x + 2 ) 2 + ( y − 3) 2 = 9
1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas
sea C(-2,3).¿Cuáles son las coordenadas de C en el sistema trasladado?
 x' = x − α
donde (α , β ) es el centro de la circunferencia

 y' = y − β
 x' = x + 2

 y' = y − 3
1.3 Exprese la ecuación de la cónica que obtuvo en 1 tomando comoreferencia el
sistema (Ci,j)
Reemplazando las ecuaciones de traslación en la ecuación canónica obtenemos:
Las ecuaciones de traslación son:

x' 2 + y ' 2 = 9
2) Halle las ecuaciones de las siguientes circunferencias:
2.1 C(3,-4), r = 5

Directamente reemplazamos el centro y el radio en la ecuación canónica de la circunferencia:
(x − α )2 + ( y − β )2 = r 2
( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 252.2 C(2,-1), pasa por el origen
En la ecuación canónica de la circunferencia reemplazamos el centro:
(x − α )2 + ( y − β )2 = r 2
( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = r 2
Como el origen pertenece a la circunferencia verifica la ecuación:
(0 − 2) 2 + (0 + 1) 2 = r 2
r2 = 5
4 + 1= r2
( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 5
2.3 Su centro esta sobre el eje “Y”; que pasa por A(-1,1) y B(2,3)
(x − α )2 + ( y − β )2= r 2
Como el centro esta sobre el eje “y”, cualquier punto del eje la componente x vale cero,
reemplazando en la ecuación:
( x − 0) 2 + ( y − β ) 2 = r 2 (I)
El punto A verifica la ecuación, reemplazamos en (I)
(− 1 − 0) 2 + (1 − β ) 2 = r 2
Lo mismo el punto B: (2 − 0) 2 + (3 − β ) 2 = r 2
 1 + 1 − 2β + β 2 = r 2 (I )


 4 + 9 − 6 β + β 2 = r 2 ( II )

Igualando (I) y (II)
2 −2β + β

2

= 13 − 6 β + β

2

⇒

6 β − 2 β = 13 − 2

11
en (− 1 − 0) 2 + (1 − β ) 2 = r 2
4
11
1 + (1 − ) 2 = r 2
4
49
1+
= r2 ⇒
16
( x − 0) 2 + ( y − β ) 2 = r 2
Reemplazamos en (I) :

⇒ 4 β = 11

Reemplazando el valor de β =

x2 + ( y −

11 2 65
) =
4
16

r2 =

65
16

⇒ β =

11
4

2.4 Su centro esta sobre la recta –2x + y = 0, que pasa por elorigen y su radio es 5 .
Si el centro (α , β ) esta sobre la recta verifica la ecuación de la recta: y=2x ⇒ β = 2α
Reemplazamos en la ecuación canónica de la circunferencia ⇒ β = 2α y r = 5
(x − α )2 + ( y − β )2 = r 2
( x − α ) 2 + ( y − 2α ) 2 = 5 *
Pasa por el origen (0,0) pertenece a la circunferencia:
(0 − α ) 2 + (0 − 2α ) 2 = 5
α 2 + 4α 2 = 5
5α 2 = 5
α 2= 1 ⇒ α = 1 ∨ α = − 1Reemplazamos en *:
( x − 1) 2 + ( y − 2 ) 2 = 5 o
( x + 1) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5
3) Analice si las siguientes ecuaciones representan circunferencias e indique,
cuando
sea posible, las coordenadas del centro y el valor del radio:
3.1 x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 12
Completamos cuadrados, asociamos los términos en x e y:
( x 2 + 4 x + ) + ( y 2 − 6 y + ) = 12
• Dividimos el coeficiente del término lineal...