Conicas

SUPERFICIE CÓNICA Y CONO
Definiciones
Se llama superficie cónica, la engendrada por una recta que se
desplaza en el espacio pasando siempre por un punto fijo,
llamado vértice y apoyándose en una curva fija. La recta se
llama generatriz y la curva directriz.
La superficie cónica se compone de dos partes, hojas o
mantos, opuestos por el vértice.
El Cono B
A C
E
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Procedimiento paraconstruirlo.
- Dibuje un ángulo de 90º, haciendo centro en A, y con una abertura igual a la
longitud de AB, se describe el arco CEB.
Cono circular.
Es el sólido geométrico limitado por uno de los mantos de una superficie cónica y por
un plano que corta todas las generatrices, llamado base.
Cono de revolución.
Es el sólido geométrico engendrado por la revolución completa de un triángulorectángulo alrededor de uno de los catetos.
El cateto sobre el cual gira el triángulo se llama eje o altura del cono, la
hipotenusa es la generatriz y el otro cateto describe el circulo de la base.
Área lateral
Teorema:
El área lateral de un cono es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia de
la base por la generatriz.
Al = 2prg Al = p r g
2
g
h
r
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Área total
Teorema: Elárea total de un cono es igual al área lateral más el área de la base.
At = pr g + pr2
At = pr(g +r)
Volumen
El volumen de un cono es igual a la tercera parte del área de la base por la altura.
V = 1/3pr2h
Superficie cónica :
Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje .
Cónica :Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.
El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.
Arquímides logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursordel cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.
Apolonio de Praga representa la culminación de la geometría griega. Escribió ocho libros sobre secciones cónicas, de los cuales uno se perdió. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo, y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.
Circunferencia.Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro .

Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual alradio r tendremos que :

pasando la raíz al otro miembro :

desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que :
si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Ejemplo:
* Encontrar la ecuación de la circunferencia tiene como centro (0,0) y pasa por (7,-9)
Elipse.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distanciasa dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse .

Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF + PF' = 2a
elevando alcuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2

dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en...