Conicas

Definición Circunferencia
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia, al centro.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco),hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), sea igual a cero.

Elementos de una circunferencia:

Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia
Radio: el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia
Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro
Cuerda: el segmento que une dospuntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros
Recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos
Recta tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto; punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia
Arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia
Semicircunferencia: cada uno de los dos arcosdelimitados por los extremos de un diámetro.



Ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio r; si P (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia, se verifica:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
La igualdad anterior representa la ecuación de una circunferencia de centro C (a, b) y radio r.
Efectuando las operaciones indicadas, se obtiene:
x2 + a2 - 2ax + y2 + b2 - 2by = r2
x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
Si hacemos D = - 2a, E = - 2b y F = a2 + b2 - r2, la ecuación se expresa en la forma:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0














Definición Parábola
Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a ladistancia a larecta DD.  
La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.  
Esto es:  
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1} 
                                PD
 
 

fig. 6.1.1.
Observaciones:
Al trazar por F la perpendicular  a la directriz. Se llamará : la distancia delfoco a la directriz. 
Sea V el punto medio del segmento  . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola. 
El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF ycomo P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F. 
 
 
6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola  
En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.) 


fig. 6.1.2.
Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .  
Pero,  y  
Luego,  Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,  
(1) 
Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.  
Por hipótesis,  (2)  
Se debe probar que  
 
 
 
 
 
De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.  
 TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)  
La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F  
La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4) 
Recíprocamente, si...