Conjuntos numerables, números transfinitos, cardinal de los naturales, cardinal del continuo

CONJUNTOS NUMERABLES, NÚMEROS TRANSFINITOS, CARDINAL DE LOS NATURALES, CARDINAL DEL CONTINUO

PREPARADO POR:
Ing. Wilfrid contrera
C.I: 14867708

SISTEMAS NUMÉRICOS
MATEMÁTICAS
MIXTO

Rubio Marzo 2011

conjunto es numerable

un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales.
Algunosautores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los conjuntos finitos. Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe correspondencia uno a uno entre el conjunto y algún subconjunto de los números naturales y es por esto que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable o a lo sumo numerable para evitar ambigüedades, refiriendo laprimera expresión únicamente a conjuntos infinitos y la segunda permitiendo conjuntos finitos.
• El conjunto de todos los números pares, es numerable porque la función:

es una biyección: cada número natural corresponde a un único número par y viceversa.
• El conjunto de todos los enteros también es numerable.
• El conjunto es numerable.
• Como consecuencia del ejemplo anterior, elconjunto de todos los racionales también es numerable.
• Por inducción puede probarse que son numerables para cualquier número entero k.

Origen del término
La noción de numerabilidad fue introducida por Georg Cantor en un artículo de 1874, Sobre una propiedad del sistema de todos los números algebraicos reales4 donde establece por una parte que el conjunto de números algebraicos reales (esdecir, el conjunto de los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros) es numerable, y por otra que el conjunto de todos los números reales no lo es, a partir de lo cual deduce inmediatamente la existencia de números trascendentes o no algebraicos, redescubriendo así un resultado de Liouville.

Su origen está ligado a la concepción del infinito enmatemáticas. Hasta el descubrimiento de Cantor, el infinito era el infinito potencial, la posibilidad de continuar un proceso sin detenerse nunca. La comparación de conjuntos infinitos trae consigo la noción de infinito alcanzado, actual o completo: un conjunto infinito visto como un todo, un concepto que ha sido rechazado por numerosos matemáticos (Gauss, o, en la época de Cantor, Kronecker, etc). Paraellos, el hecho de considerar una infinidad de objetos como un todo, es decir, el concepto de conjunto infinito, no tiene sentido, sino que el infinito sólo puede surgir del proceso de enumeración sin repetición que nunca se detiene. Sólo el infinito numerable puede tener en rigor algún sentido.

Los Números Transfinitos

En la sección anterior se estableció la existencia de cardinalidadesinfinitas diferentes. Estás cardinalidades son llamadas Números Transfinitos.
Cantor desarrolló la teoría de números transfinitos con la cual logró salvar la contradicción de la aniquilación de los números finitos por el infinito mencionada anteriormente. Primero construye los números a los que llamó Números Ordinales mediante las siguientes reglas:
1. 0 es un ordinal.
2. Si a es un númeroordinal entonces a + 1 ( su sucesor ) es un ordinal.
3. Si se tiene una sucesión de ordinales {a} entonces existe un último ordinal lim{a} el cual es mayor que todo a {a}
De esta reglas vemos que los números naturales son todos números ordinales. Más aún, el infinito potencial indicado por Aristóteles producto del proceso de contar es también un ordinal en virtud de la regla 3. A esteordinal se le denota por . La aniquilación de los números finitos se salva mediante la regla 2 pues como es ordinal entonces los números
, + 1, + 2, + 3,..., + = 2 , 2 + 1,... ,..., ,...
son también números ordinales.
En el desarrollo de esta teoría Cantor identificaba los números ordinales con conjuntos por ejemplo: 1 = {1}, 2 = {1, 2}, 3 = {1, 2, 3}, etc. De esta forma los ordinales...