conjuntos numericos





UNIDAD 1. CONJUNTOS NUMERICOS






SISTEMA NUMÉRICO
Podemos considerar un sistema numérico como un conjunto que por tener ciertas características y cumplir determinadas propiedades recibe un nombre específico.
El conjunto { 1,2,3,4,….} cuyos elementos son utilizados para contar, recibe el nombre de número naturales y se representa por:
N = {1,2,3,4……}
Al conjunto No ={0,1,2,3,4,5….} se le denomina conjunto de los enteros no negativos. A la unión de este conjunto de los enteros negativos … - 4, -3,-2,-1 se le llama conjunto de los enteros y se representa por
Z = {…., -3,-2,-1,0,1,2,3….}
Nace a/b cuando a y b pertenecen a los números enteros y b≠0 para dar vida a los números racionales y se representa por
Q = {….., -2,-3/2,-1/3,0,1/8,2/7,4……}
En este conjuntopodemos diferencia dos subconjuntos:
1. El de las fracciones propiamente dichas, como por ejemplo
-3/2, -1/3, 1/8, 2/7

2. El de los enteros, como por ejemplo -2, 0,4.
Los números racionales tienen, además, la característica de poder ser representados como un decimal infinito periódico, así:
-2 = - 2.00 = -2.
2/7 = 0.285714285714 = 0.
-1/3 = 0.33333 = 0.
En todos los casosanteriores existe en la representación decimal una parte que se repite, que se denomina parte periódica. Se acostumbra escribir los números con la parte periódica expresada una sola vez, colocando sobre ella una barra.
No todos los números pueden expresarse como decimales infinitos periódicos; por ejemplo al número
π = 3,141592654… No se le conoce periodo
A los números decimales que, como π,son NO PERIODICOS, se les denomina números Irracionales. Son también números irracionales: e = 2.718281,, y en general todas las raíces no exactas de números enteros.
Al conjunto conformado por la unión de los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de los números reales, y se representa R.
Existe otro sistema numérico conformado por números de la forma a + bi, en donde a y bson reales e i representa a (i = ). Este conjunto se denomina conjunto de los números complejos, en donde se llama la parte real y b la parte imaginaria.
Ejemplo: 2 + 3i, 5 – 7i



PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad Conmutativa: Es importante el orden en que se efectúa una operación binaria; el cambio de orden produce, algunas veces, resultados diferentes.
La operación binaria *es conmutativa en un conjunto S si, y solamente si, para cada par ordenado (a,b) de elementos de S,
a * b = b * a
Ejemplo:
1. Sea S el conjunto de los números reales R. Entonces, la adición y la multiplicación son conmutativas en R porque, para todos a y b,
a + b = b + a y a . b = b . a

2. La sustracción no es conmutativa en R porque porejemplo, 8 – 2 ≠ 2 – 8.
Propiedad Asociativa: Una operación binaria definida en un conjunto S nos permite combinar dos elementos de S y obtener un tercer elemento de S. Sin embargo, no nos dice cómo combinar tres elementos de S tales como a * b * c. Por tal razón introduciremos que si la operación posee esta propiedad, entonces podemos dar un significado al símbolo a * b * c.
Para introducir elconcepto de asociatividad tomaremos como ejemplo la adición de números reales. Si escribimos los números 2,5 y 8 en este orden: 2,5,8, queremos encontrar el valor de 2 + 5 + 8.
(2 + 5) + 8
Ahora sumamos 2 + 5 = 7, y después 7 + 8 = 15, Luego
2 + 5 + 8 = 15
Es posible agrupar los sumandos de otro modo:
2 + ( 5 + 8) = 2 + 13 = 15
Estos resultados sugieren que los dos modos de agrupar los sumandosproducen siempre el mismo resultado. De hecho, es verdadero que para números reales cualesquiera a,b,c
(a + b) + c = a + (b + c)
Esta expresión establece la propiedad asociativa de la propiedad binaria de la adición.
La definición de una operación binaria asociativa es la siguiente: la operación binaria * es asociativa en un conjunto S si, y solamente si, para cada terna de elementos a,b y c...