Conjuntos numericos

Módulo Matemática Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS NUM ÉRICOS
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo,etc.), para establecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, –4ºC, etc.), etc. NÚMEROS NATURALES Al conjunto de los números que sirven para contar {1, 2, 3, 4, ...} los llamaremos números naturales y lo notaremos con la letra N. Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo:

1

2

3

4

5

6

Como podemos observar en la recta numérica,el conjunto N tiene un primer elemento, el 1; y ¿cuál es su último elemento? ............................................................................................................................................. Actividad: • ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué? Ejemplificar.............................................................................................................................................. • ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplificar. ............................................................................................................................................. Como ya sabemos, sobre este conjunto de números se pueden definir ciertas operaciones como suma, resta,multiplicación y división. Observemos lo siguiente:

2+5=7 5+2=7 3 + 20 = 23 2 ⋅ 7 = 14 5 ⋅ 8 = 40 10 ⋅ 3 = 30

La suma de dos números naturales da SIEMPRE como resultado un número natural La multiplicación de dos números naturales da SIEMPRE como resultado un número natural.

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8 −3 = 5 20 − 7 = 13 7 − 20 = ? 5 −5 = ?

NÚMEROS ENTEROS Para solucionar elproblema de la resta, se crean los números negativos –1, –2, –3, etc. como opuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero para dar solución a la resta de un número consigo mismo. El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z. Notemos que N ⊆ Z. Su representación sobre la rectanumérica es la siguiente: –2 –1 0 1 2 3

…es opuesto de…

Veamos algunos ejemplos: El opuesto de 2 es –2. El opuesto de –5 es 5, es decir −( −5) = 5 El opuesto de 0 es ............... De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como la suma de dos números enteros. Ejemplo: Calcular: 1) 23 + (− 12) = ? Solución: sumar –12 es lo mismo que restar su opuesto, o sea 12, esdecir: 23 + (–12) = 23 – 12 = 11 2) 9 −( −20) = ? Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo tanto: 9 – (–20) = 9 + 20 = 29 Actividad: Completar: • La suma de dos números enteros da siempre un número .......................................... Dar dos ejemplos. • La multiplicación de dos números enteros da siempre un número ............................... Dar ejemplos.

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Veamos qué ocurre con la división. Observemos lo siguiente: 4 : 2 = 2 ya que 2 ⋅ 2 = 4 6 : 3 = 2 ya que 2 ⋅ 3 = 6 En general a : b = c , b ≠ 0 si se verifica que b ⋅ c = a ¿Cuál será el resultado de 4 : 3 ? Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 dé como resultado 4. ¿Qué número entero cumple con esta condición?...................................... NÚMEROS RACIONALES Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de los números racionales al que denotaremos con la letra Q. Un número racional es el cociente (división) de dos números enteros m y n, siendo n ≠ 0. Por lo tanto: Q =  , m, n ∈ Z , n ≠ 0 , donde m es el numerador y n el denominador. Notemos que Z ⊆   n  Q. ¿Por...