Conjuntos y Nu meros

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Gu´ıa de Conjuntos y N´
umeros para el examen
de Seminario
1. Definici´
on formal de:
(a) Conjunto, conjunto potencia, operaciones con conjuntos.
(b) Producto Cartesiano.
(c) Relaci´
on, relaci´on de equivalencia, relaci´on de orden.
(d) Funci´
on, funci´
on inyectiva, funci´on sobreyectiva, funci´on biyectiva,
funci´
on inversa, imagen, dominio.
(e) Composici´
on de funciones.
(f) Relaci´
onde Equivalencia: Conjunto cociente, clase de equivalencia,
partici´
on
(g) Conjunto ordenado, conjunto totalmente ordenado.
(h) Conjunto numerable y no numerable.
(i) Conjunto finito y conjuntoinfinito
(j) Congruencias m´
odulo n (Zn ), suma y multiplicaci´on de clases.
(k) Grupo, subgrupo, grupo c´ıclico, campo, subcampo.
2. Ejercicios propuestos:
(a) Demuestre usando Inducci´
on Matem´
atica:i.
ii.
iii.
iv.
v.

∀n ∈ N, 2n < n2 + 2
∀n ∈ N, n! ≥ 2n
∀n ≥ 7, n ∈ N, 2n > n2 + 4n + 5
∀n ≥ 1, n ∈ N, 6n es un n´
umero entero que termina en 6
2
∀n ≥ 1, n ∈ N, n2 (n + 1) es divisible por 4

(b)Ecuaciones Diof´
anticas:
i. Calcular las soluciones enteras de la ecuaci´on diof´antica 66x +
550y = 88
ii. Hallar los valores de c ∈ Z+ , con 10 < c < 20 para los cuales NO
tiene soluci´
on laecuaci´on diof´antica 84x + 990y = c. Determinar
la soluci´
on para los dem´as valores de c.
iii. Hallar las soluciones enteras de la ecuaci´on:
(x + y) (x − y) + (2x + 2y − 3) y − 2 (x − 7) = x + y + 3
iv.Una persona tiene una caja llena de l´apices, si esta persona hace
conjuntos de 3 l´apices, sobran 3 y al hacer conjuntos de 4 l´apices,
sobran 4. Determine el n´
umero de l´apices que hay en la caja,sabiendo que la cantidad total de l´apices se encuentra entre 100
y 110.
1

v. Determine el menor n´
umero de 4 cifras que al dividirlo por 4, 7
y 11 se obtiene como residuo 3 y al dividirlo por 13,queda como
residuo 1.
3. Demuestre el Lema Generalizado de Euclides.
Sean ai ∈ Z, i = 1, 2, . . . , n. Si p es un n´
umero primo tal que p | a1 a2 · · · an
entonces p | ai para alguna ai .
4. Sea p...