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CÁLCULO INTEGRAL
Notas de Clase

TEMA I
LA INTEGRAL D EFINIDA E INDEFINIDA

A. Leonardo Bañuelos Saucedo
Nayelli Manzanarez Gómez
Verónica Hikra García Casanova

TEMA I
LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA
Objetivo:

El alumno comprenderá el concepto de Integral definida, sus
propiedades e interpretación geométrica, así como el concepto de
Integral indefinida y su relación con laantiderivada y con la
integral definida.

Introducción
Ilustr. 1 E l área bajo la curva.
El término " Cálculo" p roviene del latín c alculus, d iminutivo del término c alx , que
significa piedra. En las civilizaciones antiguas con frecuencia se usaban piedrecillas
para hacer cuentas. El C álculo s e "inventó" en el siglo XVII como un medio para
estudiar los problemas en los que interveníael movimiento, en particular para
estudiar los objetos con velocidad variable; sin embargo en la actualidad tiene una
gran variedad de usos, desde los geométricos, cinemáticos, hasta los económicos.
Una manera sencilla de definirlo es, el Cálculo es la rama de las matemáticas que se
encarga del estudio de las cantidades infinitamente pequeñas. El curso antecedente,
Cálculo I, e stá dedicadoal estudio de uno de los conceptos fundamentales del
Cálculo: la derivada ; en la primera parte de este curso se estudiará otro de los
conceptos fundamentales: L a integral.
La integral tiene su origen en el problema de evaluar el área de una región
con frontera curva (problema formulado por los Griegos), o de manera simplificada,
obtener el área bajo una curva trazada por la función
, porencima del eje
y e ntre las rectas
y
.

La notación "Suma Abreviada" y sus propiedades
Para estudiar el concepto de integral definida es necesario primero repasar la notación
suma abreviada, también llamada notación de sumatoria 1 o notación con sigma 2 o
simplemente notación sigma 3. Esta notación ya se estudió en el curso de Cálculo I,
cuando se estudiaron las series; sin embargo, lanotación de suma abreviada puede
definirse como a continuación.

Definición
La suma de

d onde

Notación Suma Abreviada
términos

es el índice de la suma,
e s el i-ésimo término de la suma,
y

1

se denota por

s on los límites inferior y superior de la suma.

S wokowski. Cálculo con Geometría Analítica 2a. edición.

2

3

N .M.G. / A.L.B.S. / V.H.G.C.

Z ill. Cálculo conGeometría Analítica.
L arson y Hostetler. Cálculo y Geometría analítica 6a. edición.

L AS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA
La suma abreviada o sumatoria tiene las siguientes propiedades.

Teorema

y sumando (1.1) y (1.2) se tiene

Propiedades de la Suma Abreviada

1.

, donde

2

d el lado derecho se tienen

es una constante.

términos de

, por lo que

,

ydespejando:

2.

A partir de los teoremas de las propiedades de la suma, puede obtenerse
algunas fórmulas de utilidad.

S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo
Calcular las sumas que se indican, desarrollandolas y usando las
propiedades
1)

Teorema
Si

ó

Fórmulas de la Suma Abreviada
constante.

1.

2.

3.

4.

2)

ó

5.
3)

ó

6.

4)

E l teorema 1.2.2se demuestra a continuación.
Desarrollando la notación de suma, se tiene
(1.1)
o bien, en orden decreciente
(1.2)

N .M.G. / A.L.B.S. / V.H.G.C.

ó

C ÁLCULO INTEGRAL

3

5)
6)

ó

7)

se observa que los términos se cancelan

Ilustr. 2 E l problema del área.
A hora la pregunta es: cómo calcular el área de regiones diferentes a las
aprendidas en el curso de geometría,como:

=
S )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

I lustr. 3 F igura irregular 1.

Ilustr. 4 F igura irregular 2.

El problema del área y las sumas de Riemann
El concepto de la derivada estudiado en el curso de Cálculo I tiene su origen en el
problema geométrico de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en
un punto. De forma similar, el concepto de integral tiene su...