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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
Facultad de Ciencias Humanísticas y Económicas

Microeconomía III
Teoría de Juegos

Ejercicio 1
En el juego,
[pic]
Mostrar que si eliminamos de forma iterativa estrategias dominadas (no estrictamente), podemos obtener resultados distintos según el orden en el que eliminemos las estrategias.
Solución 1 Para el jugador i la estrategiaB domina a la estrategia A. Para el jugador j la estrategia D domina a la estrategia I.
Si eliminamos primero la estrategia A, podemos luego eliminar la estrategia
I o la estrategia D. Según el orden de eliminación el resultado que obtenemos es (B, D) o (B, I).
Si eliminamos primero la estrategia I, podemos luego eliminar la estrategia
A o la estrategia B. Según el orden de eliminación elresultado que obtenemos es (A, D) o (B, D).

Ejercicio 2
Sea G = {N, S, u} un juego en forma normal donde N = {i, j} es el conjunto de jugadores, S = {Si = {a, b, c}, Sj{d, e, f}} los conjuntos de estrategias de los jugadores, y la funciones de ganancias están resumidas en la matriz de ganancia:

[pic]
Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras.
Solución 2 Cogemos primero la estrategiad del jugador j. La mejor respuesta de i es a. Pero si i juega a el jugador j elige la estrategia e. Entonces, no podemos tener un equilibrio de Nash donde el jugador j juega la estrategia d.
Si el jugador j elige la estrategia e, la mejor respuesta de i es la estrategia
a. Entonces, el perfil (a, e) es un equilibrio de Nash.
Si el jugador j elige la estrategia f, la mejor respuesta de ies la estrategia
c. Si el jugador i elige la estrategia c, la mejor respuesta de j es la estrategia
f. Entonces, el perfil (c, f) es un equilibrio de Nash.
Tenemos 2 equilibrios de Nash:
E1 = (a, e), E2 = (c, f)

Ejercicio 3
Sea G = {N, S, u} un juego en forma normal donde N = {i, j} es el conjunto de jugadores, S = {Si = {a, b}, Sj{c, d}} los conjuntos de estrategias de los jugadores,y la funciones de ganancias están resumidas en la matriz de ganancia:
[pic]
Hallar todos los equilibrios de Nash.
Primero buscamos los equilibrios en estrategias puras.
Si i juega a las estrategias c y d son mejores respuestas. Si j juega c, jugar a es la mejor respuesta de i. Entonces, (a, c) es un equilibrio de Nash. Si j juega d, la mejor respuesta de i es b. Entonces, (a, d) no es unequilibrio de Nash.
Si i juega b, la mejor respuesta de j es c y, por lo tanto, (b, d) y (b, c) no pueden ser equilibrio de Nash (por qué si j juega c la mejor respuesta de i es a y no b).
Entonces, sólo hay un equilibrio de Nash en estrategias puras, (a, c).
Ahora buscamos los equilibrios de Nash en estrategias mixtas.
Sea p la probabilidad que i juegue a, y (1−p) la probabilidad que juegue b.Entonces, la ganancia esperada de j cuando juega c es:
[pic]
Y su ganancia esperada cuando juega d es:
[pic]
Entonces, si p = 1, el jugador j está indiferente entre jugar c y d, pero si p > 0 el jugador j juega c.
Sea q la probabilidad que j juegue c, y (1−q) la probabilidad que juegue d. Entonces, la ganancia esperada de i cuando juega a es:
2q
y su ganancia esperada cuando juega b es:
2(1 −q)
Entonces, i juega b si q < [pic] , y juega a si q > [pic] . El jugador i está indiferente entre a y b si q = [pic] .
Si i juega una estrategia mixta, tenemos 0 < p < 1. En este caso hemos visto que j juega c. Eso significa que q = 1. Pero si q = 1, el jugador elige a, que es una estrategia pura. Entonces no podemos tener un equilibrio de Nash donde i elige una estrategia mixta.
Si eljugador j elige una estrategia mixta tenemos 0 < q < 1. Si q > [pic] el jugador i elige a. En este caso, el jugador está indiferente entre c, d o cualquier combinación de c y d. Entonces, jugar c con una probabilidad estrictamente más que [pic] y jugar a es un equilibrio de Nash.
También, si q =[pic], jugar a es una mejor respuesta de i, y cuando i juega a, jugar c con una probabilidad [pic] es una...