Continuidad De Una Funci N En Un Punto

Continuidad de una función en un punto.-
 Sea y = f (x) una función real de variable real.
 Sea a un número real.
En un sistema de ejes, podemos considerar x = a un punto del eje de abcisas.
 Vamos a definir un concepto nuevo: “función continua en un punto”
Es decir, “la función f es continua en x = a” si verifica tres condiciones:
a) El número a pertenece al dominio de la función, esto es,f (a) existe.
b) Existe (es un número finito) el límite de f cuando x tiende a a.
c) Dicho límite coincide con la imagen de a.
Cuando esto ocurre se dice que (algunas formas de decirlo):
 “la función f es continua en x = a”
 “la función f es continua en a”
 “la función f es continua en el punto x = a”
 “ f es continua en x = a”
 “ f es continua en a”
 etc.
Observa que utilizamos el conceptode límite para saber si una función es continua en a.
Continuidad de funciones
f x es continua en x a
a f a existe es decir a D
b Existe f x
c fx fa
f
x a
x a
( )
) () , ,
) lim ( )
) lim ( ) ( )
= ⇔
∈
=







→
→Matemáticas de 2º de bachillerato Página 2 Continuidad de funciones
 Ahora veremos la interpretación gráfica de este concepto.
Observa que en las figuras 1.a, 1.b y 1.c lagráfica de la función “atraviesa” la recta
vertical sobre el punto x = a sin dar un salto, esto es, podemos dibujar la gráfica de la función
f (x) en un entorno de a sin necesidad de levantar el lápiz del papel.
Nótese que en cualquiera de las tres figuras anteriores se verifican lo siguiente puntos:

f a existe lohemos recalcado con un punto negro
f x existe
fx fa
x a
x a
() ( )
lim ( ) ( & )
lim ( )( )
→
→
=







se interpreta en la grafica
En la figura 1.a hemos representado una gráfica continua en x = a y creciente en dicho
punto, en la figura 1.b la función también es continua en x = a, pero decreciente, mientras que
en la figura 1.c es continua y constante en x = a.
3.Discontinuidad de una función en un punto.-
Si una función no es continua en un punto,
se dice que esdiscontinua en ese punto o
que no es continua en él. Es evidente que
para que una función no sea continua en a
debe fallar alguna de las condiciones a), b)
o c) mencionadas anteriormente (página 1)
Veamos gráficamente alguna de las
situaciones posibles que hacen que una
función f (x) no sea continua en x = a.
figura 2: En este caso la función no es
continua en x = a porque f (a) no existe.
Apréciese quehemos indicado este hecho
con un punto blanco en la gráfica.
Gráficamente se interpreta
como que la línea que
representa a la función puede
atravesar la recta vertical de
ecuación x = a sin dar un salto.Matemáticas de 2º de bachillerato Página 3 Continuidad de funciones
figura 3: En este caso ocurre lo siguiente:
a) f (a) existe (aunque es un punto
aislado del resto de la gráfica).
b) , es decir,existe el lim ( )
x a
fx l
→ =
límite de f cuando x tiende a a.
c) Nótese que lim ( ) ( )
x a
fx l fa
→
= ≠
Conclusión: f no es continua en x = a
porque falla la condición c)
Nótese que para “atravesar” la recta
vertical dibujada en x = a, es necesario
“levantar el lápiz” un punto.
El tipo de discontinuidad mostrado en la figura 3 se llama “discontinuidad evitable”
porque si hacemos que f (a) = l (esdecir, si hacemos que la imagen de a sea l), la función f sería
continua en x = a. Gráficamente sería trasladar el punto negro y situarlo sobre el punto blanco.
figura 4: En este caso ocurre lo siguiente:
a) f (a) existe, es decir, a0Df
b)
lim ( ) ( )
lim ( )
x a
x a
fx fa
fx l
→
→
−
+
=
=





Los límites laterales en x = a
existen y son distintos, por lo que
lim ( ) no existe. x a
f x
→c) Al no cumplirse la condición b), no
puede cumplirse c), es decir:
lim ( ) ( )
x a
fx fa
→
≠
Conclusión: f no es continua en x = a
porque falla la condición b).
Nótese que para “atravesar” la recta
vertical dibujada en x = a, es necesario “levantar el lápiz” y dar un salto para continuar la
gráfica. Este tipo de discontinuidad se llama “discontinuidad inevitable” y también se expresa...