Control

Lección 7: Compensación y Diseño con LGR

7 de junio de 2007

1.

Lecturas Recomendadas
1. Cap. 10, pag 714-716,736,743-746,758. Kuo (1996). 2. Cap. 10, pág. 595-608. Dorf and Bishop (2005). 3. Cap. 7, pag. 416-455 .Ogata (2003).

2.

Compensación

El comportamiento de sistemas de control es esencial. Para mejorar las características de respuesta de un sistema dinámico es posibleincluir un nuevo sistema que compensará o mejorará las características de respuesta del sistema de acuerdo a las necesidades. Estos sistemas se denominan compensadores o controladores, y su función es la de mejorar las características del sistema en lazo cerrado. En general un compensador es un componente adicional o un circuito que se inserta en un sistema de control para compensar deficiencias decomportamiento. Dorf and Bishop (2005, pag.583)

2.1.

Esquemas de Compensación

La forma en la que se puede insertar el compensador pueden ser, 1. Cascada 2. Realimentación o paralelo 3. Compensación en la salida 4. Compensación de entrada (pre-filtrado) Los esquemas de compensación se muestran en la Figura (1). 1

E(s)

D(s C1(s) + C2(s) Y(s) G(s)

R(s) + E(s) -

G(s)

Y(s)

R(s)+ -

(a) Cascada

(b) Paralelo

R(s) + E(s) -

G(s)

Y(s)

C(s

R(s)

C(s

+ E(s) -

G(s)

Y(s)

(c) Salida

(d) Pre-filtrado

Figura 1: Arreglos de Compensación

2.2.

Compensadores

En general se puede clasificar a los compensadores en dos tipos: Compensadores de Adelanto de Fase y Compensadores de Atraso de Fase. Los compensadores de Adelanto de Fase en generalse utilizan para mejorar la respuesta transitoria de un sistema (característica de alta frecuencia), mientras que los de Atraso de Fase se usan para mejorar la respuesta en estado estable, básicamente las constantes de error. El nombre de estos compensadores tiene que ver con la característica de fase. Los de adelanto proveen de una fase positiva al sistema (adelanto), mientras que los de atrasode una fase negativa (atraso). La forma general de un compensador es la siguiente,

Gc (s) = K

s+z s+p z 1+ = K p 1+ = K 1 α

s z s p

1 + ατ s 1 + τs

Donde

α =

p z 1 τ = p

De acuerdo a la localizació relativa de z y p, se tendrá un compensador de adelanto o de 2

atraso. Es así que: 1. Si |p| > |z| entonces es un compensador de adelanto de fase. 2. Si |p| < |z| entonces esun compensador de atraso de fase. 2.2.1. Compensador de Adelanto de Fase Como se ha dicho la forma general del compensador de adelanto de fase es

Gc (s) = K =

s+z s+p 1 1 + ατ s α 1 + τs

Donde |p| > |z|. Como se verá más adelante, lo importante en un compensador de adelanto para el diseñ en frecuencia es su característica de fase. La fase del compensador es:

φc = arctan (ατ w) − arctan(τ w) La máxima fase se encuentra cuando,

wm =

zp 1 = √ τ α

√

y el ángulo máximo cumple que,

tan (φm ) =

α−1 √ 2 α α−1 sin (φm ) = α+1

La Figura (2), muestra la respuesta de frecuencia de un compensador de adelanto con un polo en 10 y un cero en 1. Ejercicio: Verificar la fase máxima y la frecuencia a la que ocurre. 2.2.2. Compensador de Atraso de Fase A diferencia que en uncompensador de adelanto, en un compensador de atraso lo importante es la característica de magnitud y no la de fase. Esto es debido a que normalmente en este tipo 3

Bode Diagram 0 −2 −4 −6 Magnitude (dB) −8 −10 −12 −14 −16 −18 −20 60 System: sys Frequency (rad/sec): 3.19 Phase (deg): 54.9 Phase (deg)

30

0 10
−2

10

−1

10

0

10 Frequency (rad/sec)

1

10

2

10

3Figura 2: Respuesta de frecuencia de una red de adelanto. de compensadores, la fase será de máximo 5 grados debido a que tanto el polo como el cero en general estarán muy cercanos entre ellos y al origen. La función de compensación es,

Gc (s) = La magnitud del compensador es,

1 + τs 1 + τ αs

|Gc (jw)| =

|1 + τ jw| |1 + τ αjw| 1 + (τ w)2 − 20 log 1 + (ατ w)2

|Gc (jw)|dB = 20 log...