Controladores y compensadores

Controladores y compensadores.

Introducción Un controlador es un elemento en el sistema de lazo cerrado que tiene como entrada la señal de error y produce una salida que se convierte en la entrada al elemento correctivo (actuador). La relación entre la salida y la entrada al controlador se denomina ley de control. En algunos sistemas es necesario mejorar el desempeño del controlador, lo cualse logra al introducir en el sistema de control elementos adicionales denominados compensadores. Esta alteración en el desempeño se denomina compensación. En la figura se indica la ubicación del controlador dentro del sistema en lazo cerrado.

Figura 1: Esquema de control en lazo cerrado. En este esquema, el controlador (o compensador), está colocado en serie con la planta. Existen otros esquemasen los cuales el compensador puede estar en el camino de retroalimentación. Acción de control proporcional. Para un controlador proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es:

u (t ) = K p e(t )
aplicando transformada de Laplace: U (s ) = Kp E (s ) donde Kp: Ganancia proporcional.

(1)

(2)

El controlador es un amplificador con gananciaajustable. Esta ganancia será constante solamente sobre un rango de error que se conoce como banda proporcional., que se expresa generalmente como porcentaje del rango de la variable medida. Controladores y compensadores. 1

Es común expresar la salida del controlador como un porcentaje de la posible salida total de éste. De este modo, un 100% de cambio en la salida del controlador corresponde a uncambio en el error desde un extremo a otro de la banda proporcional, es decir:

Kp =

100 banda proporcional (% )

(3)

Este tipo de control no introduce nuevos ceros ni polos al sistema, por lo que el tipo de sistema no cambia. Sin embargo, modifica la posición de los polos de lazo cerrado y, por lo tanto, tiene una influencia favorable sobre el error de estado estacionario. Ejemplo:considerar el siguiente sistema:

La función de lazo cerrado del sistema es:
C (s ) 1 (Ts + 1) 1 12 = = = R(s ) 1 + 1 (Ts + 1) Ts + 2 (T 2)s + 1 La constante de tiempo de lazo cerrado es: Tlc = T 2 El error de estado estacionario es: ess = lím sR(s ) 1 = s →0 1 + G (s ) 2

Si ahora incluimos un controlador proporcional:

La función de lazo cerrado con el controlador P incorporado al sistema es:K p (Ts + 1) Kp K p (1 + K p ) C (s ) = = = R(s ) 1 + K p (Ts + 1) Ts + (1 + K p ) (T (1 + K p ))s + 1 la constante de tiempo con control proporcional es: TP = T (1 + K p ) . Nótese que es menor a

la que se tiene sin control, y puede llegar a ser muy pequeña si se aumenta la ganancia proporcional.

Controladores y compensadores.

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Por otra parte, el error de estado estacionario es:ess = lím sR(s ) 1 = s →0 1 + G (s ) 1 + Kc

si se aumenta convenientemente la ganancia proporcional, el error puede hacerse pequeño (aunque nunca puede hacerse cero).
Acción de control integral.

La ley de control para este tipo de controlador es:
u (t ) = K i ∫ e(t )dt
0 t

(4)

aplicando transformada:

U (s ) K i = E (s ) s

(5)

Donde Ki es una constante denominada gananciaintegral. La ventaja del control integral es que introduce un polo en el origen en la función de lazo abierto, lo que incrementa el tipo de sistema a uno. Esto significa que un sistema que era de tipo 0 (es decir, con un error de estado estacionario distinto de cero a una entrada escalón), puede transformarse en tipo 1 y así tener un error de estado estacionario cero a una entrada escalón. Unadesventaja del control integral es que reduce la estabilidad relativa. Esto debido a que el control añade un polo, y con ello la diferencia (n-m) entre cantidad de polos y cantidad de ceros se incrementa en uno, lo que implica que los ángulos de las asíntotas del lugar geométrico de raíces disminuyen, es decir, apuntan más hacia el semiplano complejo derecho, según la expresión:

φA =

(2k + 1)...