Conv olucion

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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Convolución
Ì Ì Ì Ì

Concepto y Definición de Convolución Propiedades Correlación y Autocorrelación Convolución Discreta

17/11/99

Capítulo 2: Convolución 1

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Concepto y Definición de Convolución
Ì Ì

Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un sistema (y(t)) a una entrada arbitraria (x(t)).Dos condiciones para realizar la convolución:
x x

Sistema LTI. La respuesta al impulso del sistema es h(t).

Ì

Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema es invariante en el tiempo:
Si L{δ( t )} = h( t ) → L{K ⋅ δ( t − t 0 )} = K ⋅ h( t − t 0 )

Ì

Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t)en tiras rectangulares de anchura ts y altura x(k ts). Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la tira : t s ⋅ x ( kt s ) ⋅ δ (t − kt s )
Capítulo 2: Convolución 2

17/11/99

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Concepto y Definición de Convolución
x(t)

t ts

Ì Ì

La función xs(t) que aproxima x(t) es : xs ( t ) = ∑ ts x( kts ) ⋅ δ ( t − kts ) k = −∞x(t) es el límite cuando ts→ dλ→0, k·ts→λ :
x( t ) = lim
k =∞ ts → 0 k = −∞

k =∞

∑ t x( kt ) ⋅ δ( t − kt
s s

s

)=

−∞

∫ x ( λ ) ⋅ δ ( t − λ ) ⋅ dλ



Y aplicando el principio de superposición:
∞ ∞  ∞ y( t ) = L{x (t )} = L  ∫ x (λ ) ⋅ δ(t − λ ) ⋅ dλ  = ∫ x( λ ) ⋅ L{δ( t − λ )} ⋅ dλ = ∫ x( λ ) ⋅ h( t − λ ) ⋅ dλ = x (t )∗ h(t ) −∞  −∞ −∞

17/11/99

Capítulo 2:Convolución 3

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Concepto y Definición de Convolución
Ì

Ì

Mediante convolución hemos sido capaces de determinar la respuesta del sistema a una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a una entrada impulso. La función h(t) se define para t≥0 y decrece cuando t→∞, para la mayoría de los sistemas físicos. Por tanto,
x

x

La respuestaen t0 depende de los valores actual y pasados de la entrada y de la respuesta al impulso. Los valores más recientes de x(t) son multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y más grandes) valores de h(t).

17/11/99

Capítulo 2: Convolución 4

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Propiedades
Ì

Propiedades (se supone que x(t)*h(t)=y(t)):

[ x1 ( t ) + x2 ( t )]∗ h( t ) = y1 (t ) + y 2 ( t ) [K1 x1 ( t ) + K 2 x2 ( t )]∗ h( t ) = K1 y1 ( t ) + K 2 y 2 ( t )
x( t )∗ h( t − α ) = y( t − α ) x( t − α )∗ h( t − β ) = y( t − α − β ) δ( t )∗ h( t ) = h( t ) x( t )∗ h ′( t ) = x ′( t )∗ h( t ) = y ′( t ) x ′( t )∗ h ′( t ) = y ′′( t ) x m ( t )∗ h n ( t ) = y m+ n ( t ) x( αt )∗ h( αt ) = 1 y( αt ) α

17/11/99

Capítulo 2: Convolución 5

5º Curso-Tratamiento Digitalde Señal

Correlación y Autocorrelación
Ì

Correlación: Es una operación similar a la convolución, con la diferencia de que en la correlación no hay que “reflejar” una de las señales:
Rxy (t ) = x (t )∗∗ y(t ) =

Esta expresión nos indica que la relación que existe entre la convolución y la correlación. La correlación nos da una medida de la similitud entre dos señales. No existe lapropiedad conmutativa por lo que dadas dos señales x(t) e y(t) se definen dos correlaciones: ∞
Rxy ( t ) = x( t )∗∗ y( t ) =
−∞

−∞

∫ x(λ ) y(λ − t )dλ = x (t )∗ y( −t )



∫ x( λ ) y( λ − t )dλ


Ryx ( t ) = y( t )∗∗ x( t ) =

−∞

∫ y( λ )x( λ − t )dλ

que sólo coinciden en t=0 : Rxy(0)= Ryx(0)
17/11/99 Capítulo 2: Convolución 6

5º Curso-Tratamiento Digital de SeñalCorrelación y Autocorrelación
Ì

La correlación de una señal consigo misma se denomina autocorrelación: ∞
Rxx ( t ) = x( t )∗∗ x( t ) =
−∞

∫ x( λ )x( λ − t )dλ

La autocorrelación representa la simulitud entre una señal y su desplazada. El máximo de autocorrelación se obtiene cuando no hay desplazamiento (t=0). La autocorrelación es simétrica con respecto al origen, ya que Rxx(t)=Rxx(-t)....
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