Convolucion

R. Caicedo
CONVOLUCION

Ya hemos notado que si y son las transformadas de Laplace de y respectivamente, entonces



¿Hay una expresión para la transformada inversa de en términos dey ? La respuesta es sí y el resultado se formula en el siguiente teorema.

TEOREMA. Si y entonces


donde llamamos la convolución de y . En forma equivalente tenemosPROPIEDADES DE LA CONVOLUCION



EJEMPLOS

1. Encontrar

SOLUCION

PASO 1. Tenemos

PASO 2. Por el teorema de convolución

Esto resulta de:

USANDO HP 49G

 PASO 1. DESACTIVARMARCADORES 03 Y 105(ver mode flags), PULSAR CHK PARA ACTIVAR O DESACTIVAR MARCADORES.
 PASO 2. INGRESAR POR CALC Y SELECCIONAR DIFFERENTIAL Eqns
 PASO 3. DEL MENU DE DIFFERENTIAL Eqns, SELECCIONARLA FUNCION ILAP
 ESCRIBA

LA FUNCION SALTO UNIDAD DE HEAVISIDE

La función definida por


La transformada de Laplace de esta función está dada por



Varias funcionesdiscontinuas con frecuencia se expresan en términos de la función de Heaviside como se indica en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO. Exprese la función
SOLUCION. La función dada se puede expresar comoFUNCIONES IMPULSO UNIDAD O DELTA DE DIRAC

La función impulso unidad se denomina frecuentemente delta de Dirac o simplemente delta, y ocupa un lugar central en el análisis de señales. Existenmuchos fenómenos físicos que se pueden modelar como funciones delta, tales como fuentes puntuales, cargas puntuales, cargas concentradas en estructuras, fuentes puntuales de tensión y de corrientes queactúan durante intervalos muy cortos de tiempo. La función delta se puede también usar en electricidad tal como cuando hay grandes picos en voltaje o corriente por intervalos cortos de tiempo.Matemáticamente, la función delta de Dirac se define así:

suponiendo que sea continua en . La función se representa gráficamente con una flecha en el origen (ver figura).


PROPIEDADES...