Cuadratura de los poligonos

CUADRATURAS DE POLÍGONOS
Si nos remontamos en la historia de la matemática hasta llegar a los antiguos griegos, nos encontramos con la situación que en esa época los maestros se reconocían por los pocos elementos que necesitaban para solucionar los problemas; por ejemplo, en Geometría era obligatorio utilizar, solamente, regla no graduada (para trazar rectas) y compás. Esta restricción llevó alos matemáticos a estrellarse frente a los tres problemas clásicos de la matemática griega:
La trisección del ángulo: dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales. Arquímedes (287-212 a.C.), encontró un método que trisecaba muchos ángulos, pero fallaba en otros.
La duplicación del cubo: dado un cubo cualquiera construir otro cubo que duplique el volumen del primero. El Oráculo de Apolo, enDelfos, planteó este problema a Pericles (459-429 a.C.) indicando que la epidemia de peste que asolaba Atenas sólo desaparecería si se duplicaba el volumen del altar cúbico de Apolo.
La cuadratura del círculo: construcción de un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado. La primera referencia conocida sobre este problema se debe a Anaxágoras (499-428 a.C.)
Hasta el siglo XIX no sellegó a demostrar la imposibilidad de resolver esos tres problemas con regla y compás, aunque tienen solución por otros métodos.
Puzles de cuadraturas
Desde tiempo inmemorial, los puzles y rompecabezas han ocupado un lugar primordial entre los juegos predilectos de todas las edades. En relación con las Matemáticas, muchas divisiones de figuras han estado en la base de materiales, tanto en suaspecto lúdico para jugar, como para utilizarlos didácticamente.
Existen muchos puzles, conocidos desde hace tiempo, y que no por ello pierden su atracción. Basta citar, como muy popular, el Tangram Chino. Otro gran bloque lo constituyen las disecciones del Teorema de Pitágoras, como la muy conocida de Henry Perigal.
Los problemas geométricos de disección plantean la partición de figurasgeométricas en trozos de forma que al unirse se obtengan otras figuras geométricas. En este artículo vamos a presentar unos casos particulares de disecciones geométricas: las cuadraturas. Consideraremos como cuadraturas a las divisiones que hay que realizar en una figura plana (por ejemplo un polígono regular) de forma que con las piezas obtenidas pueda construirse un cuadrado.
El aspecto más matemáticoes conseguir dividir la figura con la que estemos trabajando utilizando regla y compás. Ante la dificultad que ello supone se suelen presentar las divisiones ya hechas, de forma que se trabaje como si fuese un puzle, es decir, el objetivo es pasar de una figura a otra.
La primera pregunta que se puede plantear es: ¿Qué polígonos regulares podremos cuadrar?
La cuadratura del triángulo
Unaprimera aproximación a la respuesta viene dada por el especialista inglés en juegos Henry Ernest Dudeney (1857-1930), quien estudió la cuadratura del triángulo equilátero, presentando en 1905 en la Real Sociedad de Londres, un modelo construido en caoba.
Con regla y compás, como exigían los antiguos griegos, Dudeney encontró la manera de dividir un triángulo equilátero en cuatro piezas que formantambién un cuadrado. En su diseño podemos seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar el triángulo equilátero ABC.
2. Obtener los puntos medios de AB y BC (serán los puntos D y E)

3. Prolongar AE hasta F, para que EF= EB.
4. Hallar el punto medio de AF (será el punto G).
5. Con centro en G dibujar el arco AF.
6. Prolongar EB hasta cortar el arco, obteniendo el punto H.
7. Con centro en E dibujarun arco de radio EH. Llamar J al punto en que corte al lado AC.
8. Trazar el segmento JE.
9. Sobre la base AC del triángulo marcar K, de forma que JK = BE.

10. Dibujar las perpendiculares sobre JE desde D y K, obteniendo los puntos L y M.

11. El triángulo queda dividido en cuatro piezas: los tres cuadriláteros BELD, DLJA y ECKM y el triángulo JMK, con las que podemos formar un...