Cuantica

Problema 4. Considere un espacio de kets de 3 dimensiones. Si un cierto conjunto de kets ortonormales, |1 , |2 , |3 , son usados como los kets base, los operadores A y B son representados por:  a 0 0 0 , A =  0 −a 0 0 −a con a y b reales. a). Obviamente A exhibe un espectro degenerado. ¿B tambi´n, exhibe un espectro degenerado? e Se tiene la ecuaci´n caracter´ o ıstica, det (H − λI) = 0  b 0B= 0 0 0 ib   0 −ib  0

Resolviendo queda: A= Entonces, b−λ=0 λ=b o ´ λ 2 − b2 = 0 λ = ±b y con esto λ = b (doble) λ = −b b−λ 0 0 0 −λ ib 0 −ib −λ = (b − λ)(λ2 − b2 ) = 0

Con lo cual vemos que B tambi´n exhibe un espectro degenerado. e b). Muestre que A y B conmutan. Si A y B conmutan [A, B] = 0 y por definici´n: o [A, B] = AB − BA

Entonces, ab 0 0 [A, B] =  0 0 −iab con lo cual quedavisto que A y B si conmutan. c). Encuentre un nuevo conjunto de kets ortonormales los cuales son simult´neamente autoestados de A y B. a Especifique los valores propios de A y B para cada uno de los tres autoestados. ¿Su especificaci´n de autovalores o caracteriza completamente cada autoestado? A tiene solamente dos valores propios distintos, a y −a; Como los grados de degeneraci´n son i = 1 e i =2 o respectivamente, ordenando la base tenemos: {{|1 }, {|2 , |3 }}    0 ab 0 iab  −  0 0 0 0 −iab  0 iab  = 0 0

y de esta forma se tiene a B como la matriz: (B11 ) 0 B22 B= 0 0 B32  0  B23  B33

Se tiene que solucionar el problema de valores propios, con lo cual:

B11 B22 B32 B23 B33

c1 c2 c3

=λ

c1 c2 c3

=λ

Los nuevos kets estar´n definidos por la superposici´n delos anteriores, con esto, las dos matrices en la base de a o kets propios simult´neos, digamos |1 , |2 , |3 , est´n dadas por: a a  a 0 0 0 , A =  0 −a 0 0 −a  El conjunto de kets propios simult´neos: a  b 0 0 B =  0 −b 0  0 0 b 

{{|a, b }, {|−a, −b , |−a, b }}

Problema 9. (Teorema de Parseval): Pruebe el siguiente teorema: Una funci´n ψ(x) y su transformada de o Fourier φ(k) tienenla misma normalizaci´n, o
∞ ∞

|ψ(x)|2 dx =
−∞ −∞

|φ(k)|2 dk

Por definici´n se tiene: o

∞

∞

|ψ(x)|2 dx =
−∞ −∞

ψ(x)ψ ∗ (x) dx

Se puede expresar ψ(x) utilizando la transformada inversa de fourier,

∞

ψ(x) =
−∞

φ(k)eikt ∂k

Y de esta forma se tiene:

∞

∞

∞

|ψ(x)|2 dx =
−∞ −∞

ψ ∗ (x)
−∞

φ(k)eikt ∂k dx

Reorganizando los t´rminos: e

∞

∞∞

|ψ(x)|2 dx =
−∞ −∞ −∞

ψ ∗ (x)eikt ∂x φ(k) dk

y tomando el conjugado:
∞ ∞ ∞

|ψ(x)|2 dx =
−∞ −∞ −∞

[ψ(x)e−ikt ∂x]∗ φ(k) dk

Como la transformada de Fourier est´ definida, a

∞

φ(k) =
−∞

ψ(x)e−ikt ∂x

Queda

∞

∞

|ψ(x)|2 dx =
−∞ −∞

φ∗ (k)φ(k) dk

o lo que es lo mismo:
∞ ∞

|ψ(x)|2 dx =
−∞ −∞

|φ(k)|2 dk

Problema 14. Considere el problema delefecto t´nel. Encuentre la soluci´n para E < V0 y utilizar las u o condiciones de continuidad (empalme) para determinar los coeficientes de transimisi´n y reflexi´n debidos a o o la barrera. Cual ser´ la probabilidad de localizar la part´ ıa ıcula en las diferentes regiones del espacio? Realice una disertaci´n al respecto. Haga un listado de aplicaciones del efecto t´nel en campos como: f´ o u ısicanuclear, astrof´ ısica, part´ ıculas elementales y materia condensada.

Para las regiones I y III la energ´ es mayor que el potencial, con lo cual la ecuaci´n de Schrodinger independiente ıa o del tiempo nos da: d2 + k 2 φ(x) = 0 dx2 Tenemos soluciones arm´nicas: o φI (x) = Aeikx + A e−ikx con k = 2mE h ¯2

φIII (x) = Ceikx + C e−ikx

Para la regi´n II la soluci´n ser´ de tipo exponencial: oo a φII (x) = Beρx + B e−ρx

Las condiciones de empalme, En x = 0 φI (0) = φII (0) ∂φI (x) ∂x =
x=0

∂φII (x) ∂x

x=0

En x = a φII (a) = φIII (a) ∂φII (x) ∂x =
x=a

∂φIII (x) ∂x

x=a

Tenemos seis coeficientes, pero, como la onda viaja desde −∞ a ∞ no tiene sentido que se mueva en sentido contrario, es decir, que el coeficiente C sea no nulo, por lo tanto C = 0. En x = 0 las...