Cálculo De Areas Planas

Ing. Carlos Oropeza Paz

Operación contraria a la Diferencial o derivada por lo que es también llamada Anti derivada.

Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamentepequeños.

Su significado geométrico consiste en el cálculo de Áreas.

Si A es el área buscada se tiene: SD< A < SE Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente lasáreas por defecto (SD) y por exceso (SE) coincidirán y ese valor común será el área encerrada .

A ese valor se le llama la integral definida de f en [a, b]. Se escribirá:

a

b

f ( x)dxGeométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y=f(x) (f positiva en [a, b] ) el eje de las X y las rectas x = a y x = b.

Vamos a expresar mediante una integral elárea del trapecio de vértices: (3, 0), (15, 0), (15, 15) y (3, 3)
Obtenemos la expresión de la recta que pasa por los puntos (3, 3) y (15, 15), por ecuación de rectas es y = x El área vendrá dadapor la expresión:

3

15

xdx

Si f es continua en [a, b] y G es una primitiva de f , entonces:

a

b

f ( x)dx  G

b a

 G(b)  G(a)

El valor del área del ejemplo anteriores:



x 15 225 9 216 xdx     108 3  3 2 2 2 2

15

2

el área que encierra una curva f con el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b se puede calcular así:

a

b

f

yaque de esta manera será la función siempre positiva.

Se Calculará el área del recinto que está determinado por la parábola y =x-x2 y el eje O-X.
Por solución de ecuaciones y observando la gráfica,sabemos que las rectas límites son x=0 y x=1

 
1

 x 2 x3  1 1 1 1 2 x  x dx    0     2 0 3  2 3 6  



El área encerrada por dos curvas f y g entre a y b será:

a

bf g

Hallaremos el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por f(x)=4–x2 y g(x)=3x2
Al resolver el sistema de ecuaciones y por la gráfica , las rectas límites son x=-1 y...