Cálculo Diferencial

INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁLCULO DIFERENCIAL
(Desigualdades.)

Profesor:
Ing. Isaías Peña Valenzuela.

Presenta:
Jorge de Jesús Leyva Núñez.

No. De control:
10600177

Huatabampo, Sonora a 22 de Octubre de 2012

INTRODUCCIÓN.

Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemáticas. Existen libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias internacionales deproblemas aparecen con frecuencia. Todo solucionista experto debe estar familiarizado con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo.
En el presente trabajo estudiaremos dos conceptos fundamentales en el cálculo, el concepto de desigualdad (inecuación) y el concepto de valor absoluto.

OBJETIVO

Analizar las diferentes clases de funciones reales donde se involucren desigualdades,la interpretación en gráficas y su aplicación en el área de desempeño.

1.- DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD.

Una desigualdad es una relación matemática de comparación. Dicha comparación se establece a través de los signos <, >, ≤, ≥. Esto significa una relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones numéricas o algebraicas, es decir, lo contrario a lo que ocurreen una igualdad.
Para resolver desigualdades es necesario conocer los principios algebraicos de factorización.

Ejemplo:

Igualdad | Desigualdad |
3x+9=10 | 3x+9≤10 |
4y6=3x+1 | 4y6<3x+1 |
4x=3 | 4x≥3 |

De la definición de desigualdad, se deduce que:

• Todo número positivo es mayor que cero.
Ejemplo:
5 > 0; porque 5 - 0 = 5

• Todo número negativo es menor quecero.
Ejemplo:
-9 < 0; porque -9 - 0 = -9

• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Ejemplo:
-10 > -30; porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman elsegundo miembro.

Signos de desigualdad.

a>b | a mayor que b |
a<b | a menor que b |

Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

a≤b | a menor o igual a b |
a≥b | a mayor o igual a b |

Estos tipos de desigualdades reciben el nombre dedesigualdades amplias (o no estrictas).

a≫b | a mucho mayor que b |
a≪b | a mucho menor que b |

Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

a≠b | a diferente de b |

Esta notación significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

1.1.-PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:
Cuando seutilizan desigualdades o inecuaciones, deben tenerse en cuenta fundamentalmente las siguientes reglas (aunque las enunciamos sólo con el símbolo <, se cumplen propiedades análogas con los otros tres símbolos >, ≤, y ≥):

I. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.


Debido a esta propiedad, se puedentransponer términos como en las ecuaciones, o sea, los elementos que están en un miembro sumando pasan al otro restando.

Ejemplo: Si se cumple que -3<5 entonces, -3+4<5+4 O 1<9

II. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número positivo se obtiene otra desigualdad equivalente a la primera.


Ejemplo: Si -2<8 entonces, -2(3)<8(3)-6<24


III. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo la desigualdad cambia de sentido.


Ejemplo: -10<1, entonces -10(-2)>1(-2) 20>-2

NOTA: El sentido de una desigualdad se conserva al multiplicar (o dividir) sus dos miembros por un mismo número positivo, y se invierte si dicho número es negativo.

1.2.-...