cálculo integral y diferencial

Los n´meros reales
u

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Introducci´n al C´lculo
o
a
Los n´meros reales, axiomas de campo y orden, desigualdades
u
CNM-107
Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft c 2008. Reproducci´n permitida bajo los
o
t´rminos de la licencia de documentaci´n libre GNU.
e
oLos n´meros reales
u

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´meros naturales
u

Los n´meros naturales: Hist´ricamente surgen ante la necesidad de
u
o
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los n´meros naturaless son aquellos que sirven para designar
u
el n´mero de elementos de um conjunto finito.
u
N = {0, 1, 2, 3, . . .}Los n´meros reales
u

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´meros naturales
u

Los n´meros naturales: Hist´ricamente surgen ante la necesidad de
u
o
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los n´meros naturaless son aquellos que sirven para designar
u
el n´mero de elementos de um conjunto finito.
u
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
EnN se definen las operaciones de adici´n (+) y multiplicaci´n (·),
o
o
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:

Los n´meros reales
u

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´meros naturales
u

Los n´meros naturales: Hist´ricamente surgen ante la necesidad de
u
o
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los n´merosnaturaless son aquellos que sirven para designar
u
el n´mero de elementos de um conjunto finito.
u
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adici´n (+) y multiplicaci´n (·),
o
o
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:

Los n´meros reales
u

1

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w= z

y+z
y·z

Desigualdades

Los n´meros reales
u

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).

y+z
y·z

Desigualdades

Los n´meros reales
u

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de ordenUniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.

y+z
y·z

Desigualdades

Los n´meros reales
u

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ Nvale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z

Desigualdades

y+z
y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.

Los n´merosreales
u

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z

Desigualdades

y+z
y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros,zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.

5

Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale
x · (y + z) = x · y + x · z.

Los n´meros reales
u

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z

Desigualdades

y+z
y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale...