calculo diferencial e integral

C´lculo Diferencial e Integral - Dos problemas.
a

Prof. Farith J. Brice˜ o N.
n

Objetivos a cubrir

C´digo : MAT-CDI.11
o

• Problema: Recta tangente a una curva en un punto x0 .
• Problema: Velocidad promedio y velocidad inst´ntanea de un m´vil en un instante t0 .
a
o
• Definici´n de derivada de una funci´n real.
o
o
Ejercicios
1. Encontrar una ecuaci´n de la recta tangente ala curva y = 8/ x2 + 4
o

en el punto (2, 1).

2. Encontrar una ecuaci´n de la recta tangente a la curva y = 2x − x−1 en el punto P
o

1
2 , −1

.

3. Encuentre todos los puntos de la gr´fica de y = x3 − x2 donde la tangente sea horizontal.
a
3
4. Dada la ecuaci´n del movimiento rectil´
o
ıneo de un m´vil: e = t3 + . Calcular la velocidad promedio entre
o
t
t = 4 y t = 6 y lavelocidad instant´nea cuando t = 4
a
5. Si una piedra es arrojada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 32 p/seg,
la ecuaci´n de movimiento es s = −16t2 + 32t, donde t seg. es el tiempo que ha transcurrido desde que
o
la piedra fue lanzada, s pies es la distancia de la piedra desde el punto de partida en t seg. y la direcci´n
o
positiva es hacia arriba.Encontrar
(a) La velocidad promedio de la piedra durante el intervalo de tiempo
(b) La velocidad instant´nea de la piedra en
a
(c) La rapidez de la piedra en

3
4

seg. y en

5
4

3
4

seg. y en

5
4

3
4

≤ t ≤ 5.
4

1
2

≤ t ≤ 3.
2

seg.

seg.

(d) La velocidad promedio de la piedra durante el intervalo de tiempo
(e) ¿Cu´ntos segundos tomar´ a la piedraalcanzar el punto m´s alto?
a
ıa
a
(f) ¿A qu´ altura m´xima ir´ la piedra?
e
a
ıa
(g) ¿Cu´ntos segundos tomar´ a la piedra llegar al suelo?
a
ıa

(h) La velocidad instant´nea de la piedra cuando llega al suelo. Mostrar el comportamiento del movimiena
to con una figura.
x−1
que pasa por el punto (1, 0).
x+3
√
2x − 1
7. Encontrar una ecuaci´n para la recta tangente a la curva y =
o
quepasa por el punto (1, 1).
x
6. Encontrar una ecuaci´n para la recta tangente a la curva y =
o

8. Si una bola se empuja de tal forma que tiene una velocidad inicial de 24 p/seg. hacia abajo de un plano
inclinado, entonces s = 24t + 10t2 , donde s pies es la distancia de la bola desde su punto de partida en t
seg. y la direcci´n positiva hacia abajo del plano inclinado
o
(a) ¿Cu´l es lavelocidad instant´nea de la bola de t1 seg.?
a
a
(b) ¿Cu´nto tiempo tarda la velocidad en incrementarse a 48 p/seg.?
a
9. Encuentre los puntos de la curva y = x3 − x2 − x + 1 en los que la tangente sea horizontal.
10. Encuentre todos los puntos de la gr´fica de y = 1 x3 + x2 + x donde la recta tangente tenga pendiente 1.
a
3
11. Una part´
ıcula se mueve a lo largo de una linea recta deacuerdo a la ecuaci´n de movimiento
o
s = 2t3 − 4t2 + 2t − 1.
Determinar los intervalos de tiempo cuando se mueva la part´
ıcula a la derecha y cuando lo haga a la
izquierda. Tambi´n determinar el instante cuando la part´
e
ıcula cambia su direcci´n.
o
1

12. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 64p/seg. Si la
direcci´n positiva de ladistancia desde el punto de partida es hacia arriba, la ecuaci´n del movimiento es
o
o
s = −16t2 + 64t.
Si t es el n´mero de segundos en el tiempo que ha transcurrido desde que la pelota fue lanzada y s es el
u
n´mero de pies en la distancia de la pelota desde el punto de partida en t seg. encontrar
u
(a) La velocidad inst´ntanea de la pelota al t´rmino de 1 seg.
a
e
(b) La velocidadinst´ntanea de la pelota al t´rmino de 3 seg.
a
e
(c) ¿Cu´ntos segundos tarda la pelota en alcanzar su punto m´s alto?
a
a
(d) ¿A qu´ altura m´xima ir´ la pelota?
e
a
a
(e) La rapidez de la pelota al t´rmino de 1 y 3 seg.
e
(f) ¿Cu´ntos segundo tarda la pelota en llegar al suelo?
a
(g) La velocidad instant´nea de la pelota, cuando alcanza el suelo. ¿Al t´rmino de 1 seg. se encuentra...