Cálculo vectorial

SERIE # 4

CÁLCULO VECTORIAL SEMESTRE 2011-2

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SEMESTRE: 2011-2

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1) Calcular
SOLUCIÓN

∫ ∫
0

1

2

0

x y dy dx .

1

2) Evaluar la integral doble
circunferencia x 2 + y 2 = 9 .
SOLUCIÓN

∫∫

R

x 2 9 − x 2 dA , donde R es la región circular limitada por la

27 2

3) Calcular el valor de

∫∫

R

ex

2

+ y2

dAdonde R es la región del plano XY localizada entre las

circunferencias de ecuaciones x 2 + y 2 = 1,
SOLUCIÓN

x2 + y 2 = 9 .

π (e 9 − e )

4) Utilizar integrales doble para calcular el área de la región del plano XY localizada en el
primer octante y limitada por las curvas de ecuaciones 16 ( x − 1) = y 2 ,
SOLUCIÓN

8x = y2 .

16 u.t. 3

5) Calcular el área de la región delplano XY , interior a las curvas de ecuaciones
x 2 + y 2 = 9,
SOLUCIÓN

x2 + y2 − 6 x = 0 .

11.055 u2

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6) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región localizada entre las curvas
de ecuación 2y 2 = x − 2,
SOLUCIÓN

x 2 − 4 y 2 = 4,

x = 4.

2 3 − Ln 2 + 3 −

(

)

4 3

u2

7) Por medio de laintegral doble, calcular el área de la región del primer cuadrante, limitada por las curvas de ecuaciones: x = 2, x = 6, y 2 = x 2 - 10x+ 26, y 2 - x 2 - 10x+ 30.
SOLUCIÓN

3.8795

8) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región localizada entre las curvas
de ecuación x 2 − 14 x − 5 y + 59 = 0,
SOLUCIÓN

x 2 − 14 x + 5 y − 11 = 0 .

200 2 u 3

9) Por medio de la integraldoble, calcular el área de la región del primer cuadrante,
limitada por las curvas xy = 1,

xy = 4,

y = 2 x,

x = 2y .

SOLUCIÓN

Ln 8 u2

10) Calcular el volumen de la región localizada por arriba del plano XY, interior al
paraboloide z = 9 - ( x 2 + y 2 ) , exterior al cilindro x 2 + y 2 = 4 .

SOLUCIÓN

25 π u3. 2

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lassuperficies:

11)

Determinar el volumen de la región limitada por az = y , x 2 + y 2 = r 2 , z = 0 , donde a y r son constantes.
2

SOLUCIÓN

π r4 8

u3.

12) Calcular el volumen de la región que es limitada por las superficies S1 y S2
representadas por : S1 : x 2 + z 2 = 4 − y,
SOLUCIÓN

S2 : y + 5 = 0 .

81 π u3. 2 interior a la curva cuya ecuación polar es ρ = 3 sen (4 θ) .SOLUCIÓN

13) Utilizar integración doble para calcular el área de la región del primer cuadrante

9π 2 u. 8

14) Utilizar integración doble para calcular el área de la región interior a la curva cuya
ecuación polar es ρ = 6 cos θ .

SOLUCIÓN

9 π u2.

15) Calcular el área de la región exterior a la circunferencia cuya ecuación polar es ρ = 3 e
interior a la cardioide de ecuaciónpolar ρ = 3 (1+ cos θ ) .
SOLUCIÓN

18 +

9π 4

u2

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16) Calcular el área de la región limitada por la lemniscata cuya ecuación en coordenadas
polares es ρ2 = 4 cos 2θ .

SOLUCIÓN

4 u2 .

17) Calcular ρ = cos 4θ .

el

área

de

un

pétalo

de

la

rosa

cuya

ecuación

polar

es

SOLUCIÓN

π 2 u.16

18) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región interior a la curva de ecuación polar ρ = 2 a(1+ cos θ ) donde a es una constante.

SOLUCIÓN

4 u2

19) Calcular

∫∫ ( x
R

2

+ y 2 ) dx dy siendo R la región interior del primer cuadrante limitado

por las curvas x y = 1, x y = 8, x 2 − y 2 = 3, x 2 − y 2 = 6 . Sugerencia: Hacer el cambio de variable u = x y,y = x 2 − y 2

SOLUCIÓN

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20) Comprobar el teorema de Green, considerando el campo vectorial v = x y i + y 2 j
la trayectoria carrada que se muestra en la figura.

y

SOLUCIÓN

A criterio del profesor.

21) Utilizar el teorema de Green en el plano mediante integrales de línea, el área de la región mostrada en la...