De dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado?



¿De dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado?
Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones polinómicas de segundo grado. Portanto todo el mundo conoce la famosa fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación concreta:

Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula la que nos acaba diciendocuántas hay y cuáles son en el caso de que existan.
La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula? Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento pero tengo comprobado que muchagente acaba por memorizar la fórmula sin más y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que merece la pena dedicarle un post para que todos recordemos este tema. Ahí va:Partimos de la ecuación polinómica siguiente:

donde se supone  para que la ecuación sea de verdad de segundo grado.
Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como un binomio al cuadrado más unasciertas constantes, digamos . Como sabemos que  tenemos que:
1. El término del binomio que nos proporcionará  (supongamos que es ) debe ser . Por tanto .
2. El término  debe salir del dobleproducto . Como  tenemos que . Despejando obtenemos que .
3. Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que , constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos que restarla. Además  debe seguirestando. Por tanto .
Vamos, que la cosa queda como sigue:

Pasamos las constantes al otro lado:

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el $Latex \pm$):

Operamos dentrode la raíz del segundo miembro:

Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos  de la raíz:

Dividimos ambos miembros por  (lo que comúnmente se diría como pasamos  al otro miembro)y sumamos las fracciones. La cosa queda:

que es lo que todos conocemos.
Aunque como dije antes la demostración no tiene demasiado misterio, es bastante sencilla e intuitiva no viene mal de vez...