De Todo

INTRODUCCIÓN

A lo largo de las páginas de este trabajo se presenta un marco teórico que introduce el tema en general, abarcando luego el tema a exponer, al igual que se muestran dos ejercicios resueltos con explicaciones detalladas sobre cada proceso realizado, y en el programa de Matlab.

Normalmente este tema tiene un proceso largo y por ello es ideal para programarlo por computadora yno solamente para hacerlos sobre el papel. Programar este tema permite incluso obtener una mejor comprensión de la teoría aquí presentada.

INDICE |
Sistema de Ecuaciones Lineales | pag. 3 |
Definicion | pag. 3 |
Sistema | pag. 3-4 |
Metodo de Gauss-Seidel | pag. 5 |
Definicion | pag. 5 |
Descripcion | pag. 5-7 |
Problemas | pag. 7-13 |
Programacion en Matlab | pag. 13-18 |Conclusiones | pag. 19 |
Bibliografia | pag. 20 |



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1. DEFINICIÓN
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería elsiguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal asícomo en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

2. SISTEMA
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cadamatriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

1. DEFINICIÓN
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un métodoiterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución el sistema debe tener tantas ecuacionescomo incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

2. DESCRIPCIÓN
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va atrabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2,…, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Másprecisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de...