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Transformada de Laplace, Polos y Ceros en
Análisis de Respuesta de Frecuencia.
Nicolás Supervielle Brouques
Estudiante de Ingeniería Electricista
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
Niko_8_b@hotmail.com

Marzo 2011

Resumen: Mostraremos la aplicación de teoría de funciones de variable compleja en el marco de la ingeniería electrónica.Explicaremos el Análisis de Respuesta de Frecuencia de sistemas lineales invariantes en el tiempo, que es una técnica donde
una señal de prueba sinusoidal de entrada es usada para medir y obtener información relevante del sistema lineal que se está
estudiando. Específicamente usaremos la Transformada de Laplace para la transformación de ecuaciones diferenciales que
modelan frecuencia de entrada ysalida en sistemas eléctricos a ecuaciones más sencillas, y la lectura de polos y ceros para
determinar la estabilidad del sistema lineal, así como la resolución de circuitos usando Transformada de Laplace
Palabras clave: Laplace, Raíces, Polos, Ceros, Respuesta, Frecuencia.

I.

INTRODUCCIÓN

La Transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil en electrónica ya que gracias a ellapodemos representar el comportamiento de sistemas electrónicos complejos de forma más sencilla usando
ecuaciones ordinarias en vez de ecuaciones diferenciales. Es importante destacar, que si bien en este documento
mostramos la Transformada de Laplace aplicada en el ámbito de la ingeniería electrónica más específicamente
en la parte de análisis de Respuesta en Frecuencia, la Transformada deLaplace puede describir el
comportamiento de cualquier tipo de sistema lineal.
La transformación es la siguiente:
∞

X ( s ) = L( x(t )) =

∫ x(t )e

0

− st

dt

(1)

−

Donde X ( s ) es la transformada de Laplace de x(t ) . Se define para cualquier número complejo, s .
En ingeniería electrónica el comportamiento de respuesta de frecuencia de sistemas lineales ante una señal
deprueba es muy importante en el análisis y diseño de dichos sistemas. Para este estudio además de realizar
Transformaciones de Laplace de las ecuaciones diferenciales que modelan las estimulaciones y respuestas del
sistema, veremos el significado de los polos y ceros respecto a la estabilidad del sistema abstrayéndonos de su
construcción real física, solo calificamos esa construcción y vemos sisatisface el comportamiento deseado, y de
esta forma, con esta información, podemos luego modificar la estructura física salvando los problemas para
obtener lo que deseamos del sistema.

II. DESARROLLO DEL ARTÍCULO
Si tenemos un sistema electrónico (centrándonos únicamente en sistemas lineales e invariantes en el
tiempo), y lo estimulamos dando una entrada o fuerza al sistema, este produceuna salida o respuesta. Esa
respuesta ante una entrada tiene un cambio, esa razón es lo que se llama función de transferencia (figura 1).
Las funciones de transferencia se usan frecuentemente en ingeniería para caracterizar la relación entradasalida de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, y juegan un papel importante en el análisis y diseño de
dichos sistemas.

Sistema
EntradaSalida

G (s )
U(s)

X(s)

Figura 1: Diagrama de la función de transferencia.
La función de transferencia esta definida como la razón de la Transformada de Laplace de la salida del
sistema respecto a la Transformada de Laplace de la entrada, bajo el supuesto de que todas las condiciones
iniciales son cero, esto es, estando inicialmente el sistema en reposo.
Consideremos un sistemalineal caracterizado por la ecuación diferencial de la siguiente manera:
dnx
n

+ an −1

d n −1x
n −1

+ ... + a0 x = bm

d mu

+ ... + b0u
(2)
dt
dt
dt m
Donde n ≥ m y las a y las b son coeficientes constantes, x(t ) es la respuesta del sistema correspondiente a
la entrada u (t ) aplicado en el tiempo t = 0 .
an

A. Función de Transferencia usando Transformada de Laplace...