De Todo

Introducción

Los números complejos es un tema que ha sido muy poco estudiado por los profesores en las distintas etapas de la educación, tanto a nivel básico y diversificado como en la Universidad. Al comenzar a estudiar los números complejos, nos damos cuenta que es un sistema muy importante por integrar varias ramas de la matemática como lo son la trigonometría, la geometría y el álgebra,entonces resulta bastante interesante indagar un poco más acerca de este tema, comenzando por su historia.

Los números reales son solamente casos especiales de los números complejos, como también lo son los números imaginarios. Si uno representa los números complejos de la forma , entonces los números reales son todos aquellos complejos en que es igual a cero. Y los números imaginarios son todoslos complejos en los que es igual a cero.
Para finalizar debemos mencionar que en 1799 el matemático alemán Carl Gauss dio su primera demostración del teorema fundamental del álgebra, en el que establece que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus raíces en , y puesto que ésta dependía necesariamente del reconocimiento de losnúmeros complejos, Gauss consolidó la posición de estos números. En 1831 Gauss publica un trabajo donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma , llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos. A partir de todas esas investigaciones se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas.Numero Complejo

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como [pic], siendo [pic] el conjunto de los reales se cumple que [pic]. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puederepresentarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de granimportancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran comopuntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogosdel cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.



Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma
[pic]
• Producto por escalar
[pic]
• Multiplicación
[pic]
• Igualdad[pic]

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta
[pic]
• División
[pic]

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria,...