Deducción del método de newton raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Francisco Reyes
4-754-1971
Deducción del método de Newton Raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitas
ui+1=ui+(xi+1 - xi) ∂ui∂x +( yi+1 - yi) ∂ui∂y +(zi+1-zi)∂ui∂z
vi+1=vi+(xi+1 - xi) ∂vi∂x +( yi+1 - yi) ∂vi∂y +(zi+1-zi)∂vi∂z
wi+1=wi+(xi+1 - xi) ∂wi∂x +( yi+1 - yi) ∂wi∂y +(zi+1-zi)∂wi∂z
Entonces tenemos el sistema donde:xi+1,yi+1,zi+1 son las incógnitas
∂ui∂x(xi+1) +∂ui∂y(yi+1) +∂ui∂z(zi+1) = - ui+xi∂ui∂x + yi∂ui∂y + zi∂ui∂z

∂vi∂x(xi+1) +∂vi∂y(yi+1) + ∂vi∂z(zi+1) = - vi+xi∂vi∂x + yi∂vi∂y + zi∂vi∂z

∂wi∂x(xi+1) +∂wi∂y(yi+1) + ∂wi∂z(zi+1) = - wi+xi∂wi∂x + yi∂wi∂y + zi∂wi∂z

Calculando el sistema de ecuaciones
- ui+xi∂ui∂x + yi∂ui∂y + zi∂ui∂z ∂ui∂y ∂ui∂z
- vi+xi∂vi∂x + yi∂vi∂y + zi∂vi∂z ∂vi∂y∂vi∂z
xi+1= - wi+xi∂wi∂x + yi∂wi∂y + zi∂wi∂z ∂wi∂y ∂wi∂z
∂ui∂x ∂ui∂y ∂ui∂z
∂vi∂x ∂vi∂y ∂vi∂z
∂wi∂x ∂wi∂y ∂wi∂z

Desarrollando el determinante superior (por cofactores en la primera columna)- ui∂vi∂y∂wi∂z+xi∂ui∂x∂vi∂y∂wi∂z + yi∂ui∂y∂vi∂y∂wi∂z + zi∂ui∂z ∂vi∂y∂wi∂z +…
ui∂wi∂y∂vi∂z-xi∂ui∂x∂wi∂y∂vi∂z -yi∂ui∂y∂wi∂y∂vi∂z - zi∂ui∂z ∂wi∂y∂vi∂z

…+ vi∂ui∂y∂wi∂z-xi∂ui∂x ∂ui∂y∂wi∂z- yi∂ui∂y ∂ui∂y∂wi∂z - zi∂ui∂z ∂ui∂y∂wi∂z +……..
….+ -vi∂wi∂y∂ui∂z+xi∂ui∂x∂wi∂y∂ui∂z +yi∂ui∂y∂wi∂y∂ui∂z + zi∂ui∂z ∂wi∂y∂ui∂z +……

…..-wi∂ui∂y∂vi∂z+xi∂ui∂x ∂ui∂y∂vi∂z + yi∂ui∂y ∂ui∂y∂vi∂z +zi∂ui∂z ∂ui∂y∂vi∂z+……
+ … wi∂vi∂y∂ui∂z-xi∂ui∂x∂vi∂y∂ui∂z - yi∂ui∂y∂vi∂y∂ui∂z - zi∂ui∂z ∂vi∂y∂ui∂z
Desarrollando el determinante inferior por la regla Sarrus (este determinante es necesario calcularlo una sola vez)
∂ui∂x ∂ui∂y ∂ui∂z ∂ui∂x ∂ui∂y
∂vi∂x∂vi∂y ∂vi∂z ∂vi∂x ∂vi∂y
∂wi∂x ∂wi∂y ∂wi∂z ∂wi∂x ∂wi∂y
Luego tenemos el resultado del determinante inferior
∂ui∂x ∂vi∂y ∂wi∂z+ ∂ui∂y ∂vi∂z ∂wi∂x+ ∂ui∂z ∂vi∂x ∂wi∂y- ∂ui∂z ∂vi∂y ∂wi∂x-∂ui∂x ∂vi∂z ∂wi∂y -∂ui∂y ∂vi∂x∂wi∂z
Tenemos que:
xi+1=ui∂wi∂y∂vi∂z-∂vi∂y∂wi∂z+vi∂ui∂y∂wi∂z-∂wi∂y∂ui∂z+wi∂vi∂y∂ui∂z-∂ui∂y∂vi∂z + xi( ∂ui∂x ∂vi∂y ∂wi∂z+ ∂ui∂y ∂vi∂z ∂wi∂x+ ∂ui∂z ∂vi∂x ∂wi∂y- ∂ui∂z ∂vi∂y ∂wi∂x-∂ui∂x ∂vi∂z ∂wi∂y -∂ui∂y ∂vi∂x∂wi∂z )
∂ui∂x ∂vi∂y ∂wi∂z+ ∂ui∂y ∂vi∂z ∂wi∂x+ ∂ui∂z ∂vi∂x ∂wi∂y- ∂ui∂z ∂vi∂y ∂wi∂x-∂ui∂x ∂vi∂z ∂wi∂y -∂ui∂y ∂vi∂x∂wi∂z

xi+1= 1
xi( ∂ui∂x ∂vi∂y∂wi∂z+ ∂ui∂y ∂vi∂z ∂wi∂x+ ∂ui∂z ∂vi∂x ∂wi∂y- ∂ui∂z ∂vi∂y ∂wi∂x-∂ui∂x ∂vi∂z ∂wi∂y -∂ui∂y ∂vi∂x∂wi∂z ) +…
∂ui∂x ∂vi∂y ∂wi∂z+ ∂ui∂y ∂vi∂z ∂wi∂x+ ∂ui∂z ∂vi∂x ∂wi∂y- ∂ui∂z ∂vi∂y ∂wi∂x-∂ui∂x ∂vi∂z ∂wi∂y -∂ui∂y ∂vi∂x∂wi∂z
….+ ui∂wi∂y∂vi∂z-∂vi∂y∂wi∂z+vi∂ui∂y∂wi∂z-∂wi∂y∂ui∂z+wi∂vi∂y∂ui∂z-∂ui∂y∂vi∂z
∂ui∂x ∂vi∂y ∂wi∂z+ ∂ui∂y ∂vi∂z ∂wi∂x+ ∂ui∂z∂vi∂x ∂wi∂y- ∂ui∂z ∂vi∂y ∂wi∂x-∂ui∂x ∂vi∂z ∂wi∂y -∂ui∂y ∂vi∂x∂wi∂z
Luego de factorizar el por xi queda:
xi+1= xi - ui∂vi∂y∂wi∂z-∂wi∂y∂vi∂z+vi∂wi∂y∂ui∂z-∂ui∂y∂wi∂z+wi∂ui∂y∂vi∂z-∂vi∂y∂ui∂z
∂ui∂x ∂vi∂y ∂wi∂z+∂ui∂y ∂vi∂z ∂wi∂x+∂ui∂z ∂vi∂x ∂wi∂y+∂ui∂z ∂vi∂y ∂wi∂x-∂ui∂x ∂vi∂z ∂wi∂y-∂ui∂y ∂vi∂x∂wi∂z

∂ui∂x - ui+xi∂ui∂x + yi∂ui∂y + zi∂ui∂z∂ui∂z
∂vi∂x - vi+xi∂vi∂x + yi∂vi∂y + zi∂vi∂z ∂vi∂z
yi+1= ∂wi∂x - wi+xi∂wi∂x + yi∂wi∂y +zi∂wi∂z ∂wi∂z
∂ui∂x ∂ui∂y ∂ui∂z
∂vi∂x ∂vi∂y ∂vi∂z
∂wi∂x ∂wi∂y ∂wi∂z...