Definición Rigurosa De Límite

DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE
Decir que limn→cfx=L significa que f(x) puede hacerse tan cercana como se desee a L siempre que x sea suficientemente cercana, pero no igual a c. El primer ejemplo ilustra este punto.
Ejemplo.
Utilice la gráfica de y = f(x) = 3x2 para determinar qué tan cercana debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.05 de 12.
Solución
Para que f(x) esté a menos de 0.05 de 12, debemos tener 11.95 6 f(x) 6 12.05.
En la figura 1 se dibujaron las rectas y = 11.95 y y = 12.05. Si despejamos x de y = 3x2, obtenemos x= y/3. Por lo tanto, f (11.95/3 ) = 11.95 y f (12.05/3 ) = 12.05.
La figura 1 indica que si 11.95/3 < x < 12.05/3 entonces f (x) satisface 11.95 < f (x) < 12.05. Este intervalo para x es aproximadamente 1.99583 6 x6 2.00416. De los dos extremos de este intervalo, el más cercano a 2 es el superior, 2.00416, y se encuentra a 0.00416 de 2. Por lo tanto, si x está a menos de 0.00416 de 2, entonces f (x) está a menos de 0.05 de 12.

figura 1

Si ahora preguntamos qué tan cerca debe estar x de 2 para garantizar que f (x) esté a menos de 0.01 de 12, la solución seguiría las mismas líneas y determinaríamosque x tendría que estar en un intervalo más pequeño al que se obtuvo anteriormente. Si queremos que f (x) esté a menos de 0.001 de 12, necesitaríamos un intervalo que fuese aún más angosto. En este ejemplo, parece plausible que no importa cuán cercano queramos que f (x) esté de 12, podemos realizar esto tomando x suficientemente cercana a 2.
El valor absoluto como distancia
Considere dospuntos a y b en la recta numérica. ¿Cuál es la distancia entre ellos? Si a < b, entonces b – a es la distancia; pero si b < a, entonces la distancia es a - b. Podemos combinar estos enunciados en uno y decir que la distancia es |b - a|. Esta interpretación geométrica del valor absoluto de una diferencia, como la distancia entre dos puntos en una recta numérica, es importante en lacomprensión de nuestra definición del límite.
Precisando la definición
Seguimos la tradición al utilizar las letras griegas e (épsilon) y δ (delta) para representar números positivos arbitrarios (por lo regular pequeños).
Decir que f(x) difiere de L en menos que e, significa que L - ℮ < f(X) < L + ℮, o de forma equivalente, Esto significa que f (x) se encuentra en el intervalo abierto (L - e, L+ e), como se muestra en la gráfica de la figura 2.
figura 2

Ahora, decir que x está suficientemente cerca pero diferente de c es decir que, para alguna δ, x pertenece al intervalo abierto (c - δ, c + δ), con c eliminado de éste. Tal vez la mejor forma de decir esto es escribir 0 < | x - c | < δ
Obsérvese que describiría al intervalo mientras que requiere que se excluya x = c. Elintervalo que estamos describiendo se muestra en la figura 3.
figura 3

Ahora estamos preparados para lo que algunas personas han denominado la definición más importante del cálculo.
Significado preciso de límite
Decir que limx→cfx=L significa que para cada e > 0 dada (no importa qué tan pequeña) existe una correspondiente δ > 0, tal que siempre que |f(x) – L| < ε, siempre que 0< | x - c | < δ; esto es, 0 < | x – c | < δ → | f (x) – L | < ε
Las gráficas de la figura 4 pueden ayudarle a comprender esta definición. Debemos recalcar que el número real ε se debe dar primero; el número δ debe producirse y por lo regular depende de ε. Supóngase que David desea demostrar a Emilia que limx→cfx Emilia puede retar a David con cualquier e particular que

figura4

ella elija (por ejemplo, e = 0.01) y pedir a David que obtenga una δ correspondiente.
Apliquemos el razonamiento de David al límite limx→32x+1 Por inspección, David conjeturaría que el límite es 7. Ahora, ¿podrá David determinar una δ tal que | (2x +1) – 7 | < 0.01 siempre que 0< |x – 3 | < δ? Un poco de álgebra muestra que | (2x + 1) – 7 | < 0.01 ↔ 2 | x – 3 | < 0.01...