Definicion de derivadas matematicas ii

Función continua y derivable entonces:
f(x)=lim f(x-∆x)-f(x)∆x
∆x→0

Se lee: la derivada de la función f La derivada es un límite y se define de la siguiente manera: Si f(x) es una (x) es el límite de fx+∆x-f(x)Δx cuando ∆x tiende a cero.
Ejemplo: Hallar la derivada de la función fx=x2 utilizando el concepto de limite.
1.-paso: f(x+∆x)=(x+∆x)2
2.-paso:f(x+∆x)-f(x)=(x+∆x)2-x2
3.-paso: fx+∆x-f(x)Δx = (x+∆x)2-x2Δx =
(x+∆x)2-x2Δx=x2+2x∆x+(∆x)2-x2Δx
= 2x∆x+(∆x)2Δx = 2x(∆x)Δx + (Δx)2Δx = 2x+∆x
4.-paso: lim fx+∆x-f(x)Δx = 2x+∆x=2x=f'x=2x
∆x→0

1.-fx=x
1.-paso: f(x+∆x)=(x+∆x)
2.-paso: f(x+∆x)-f(x)=(x+∆x)- x2
3.-paso: fx+∆x-f(x)Δx = (x+∆x)-xΔx = ΔxΔx=1
4.-paso: lim fx+∆x-f(x)Δx=1=1 f'x=1
∆x→0
2.-fx=3x
1.-paso:fx+∆x=3x+∆x=(3x+3∆x)
2.-paso: fx+∆x-f(x)=(3x+3∆x)-3x=3x+3∆x-3x
3.-paso: fx+∆x-f(x)Δx = 3∆xΔx=3
4.-paso: lim fx+∆x-f(x)Δx = lim⁡3∆x→0 f'x=3
Calcular la derivada de la función fx=x3-1
Formulas:
1°.- si fx=xn→f'x=nxn-1
2°.- si fx=k→f'x=0
3°.- si fx=kx→f'x=k (k es una constante)

1.- fx=x3-1
f'x=3x3-1-1
f'x=3x2-0
f'x=3x2

2.- fx=x2+2x+1
f'x=2x2-1+2+0
f'x=2x+2+0

3.- fx=x3-x2-2x-7f'x=3x3-1-2x2-1-2x-7
f'x=3x2-2x-2-0

4.- fx=3x3+x2-1
f'x=33x3-1+2x2-1-0
f'x=9x2+2x

5.- fx=4x3+3x2+2x-3
f'x=43x3-1+3(2x2-1)+2-0
f'x=12x2+6x+2

6.- fx=10x9+20x8+15x7+3x6
f'x=109x9-1+20(8x8-1)+15(7x7-1)+3(6x6-1)
f'x=90x8+160x7+105x6+18x5

7.- fx=-3x3-2x2-7x-2
f'x=-3(3x3-1)-22x2-1-7-0
f'x=-9x2-4x-7

8.-fx=-7x3-3x2-x-6
f'x=-73x3-1-32x2-1-1-0
f'x=-21x2-6x-19.-fx=-9x5-3x4-2x3-x2-x-1
f'x=-95x5-1-34x4-1-23x3-1-2x2-1-1-0
f'x=-45x4-12x3-6x2-2x-1

10.-fx=3x5+2x4-2x3+3x2+2x+1
f'x=35x5-1+24x4-1-2(3x3-1)+3(2x2-1)+2+0
f'x=15x4+8x3-6x2+6x+2

4°.- Formula si fx=μx vx→f'x=μ'x v(x)+μ(x) v'(x)

Ejemplos: si fx=x+1+(x)
μx=x+1 μ'x=1+0 f'x=1x+x+1(1)
vx=(x) v'x=1 f'x=x+x+1
f'x=2x+1
1.-Si fx=x+1(x-1)
μx=x+1 μ'x=1+0f'x=1x-1+x+1(1)
vx=(x-1) v'x=1-0 f'x=x-1+x+1
f'x=2x
2.-Si fx=x+1(x2-1)
μx=x+1 μ'x=1+0 f'x=1x2-1+x+1(2x)
vx=(x2-1) v'x=2x2-1-0 f'x=x2-1+2x2+2x
v'x=2x f'x=3x2+2x-1

3.-Si fx=(3x2)(x2+2x)
μx=3x2 μ'x=32x2-1=6x
vx=(x2+2x) v'x=2x2-1+2=2x+2
f'x=6xx2+2x+3x22x+2
f'x=6x3+12x2+6x3+6x2
f'x=12x3+18x2
.
4.-Sifx=x2-1(x2+2x+1)
μx=(x2-1) μ'x=2x-0
vx=(x2+2x+1) v'x=2x+2
f'x=2xx2+2x+1+x2-1(2x++2)
f'x=2x3+4x2+2x+2x3+2x2-2x-2
f'x=4x3+6x2-2
5°.-Formula si fx=μ(x)v(x)=vxμ'x-μxv'(x)[vx]2=f'(x)

1.-fx=(x+1)(x2+2x+1)
μx=x+1 μ'x=1
vx=x2+2x+1 v'x=2x+2
f'x=x2+2x+11-x+1(2x+2)(x2+2x+1)2
f'x=x2+2x+1-(2x2+2x+2x+2)(x2+2x+1)2
f'x=x2+2x+1-2x2-4x-2(x2+2x+1)2f'x=x2-2x-1(x2+2x+1)2=-(x2+2x+1)x2+2x+1(x2+2x+1)=-1(x2+2x+1)

2.-fx=(x2-1)(x-1)
μx=x2-1 μ'x=2x
vx=x-1 v'x=1
f'x=x-12x-x2-1(1)(x-1)2
f'x=2x2-2x-(x2-1)(x-1)2
f'x=2x2-2x-x2+1(x-1)2
f'x=x2-2x+1x-1(x-1)=x2-2x+1x2-2x+1=1

3.- fx=(x3-1)(x2+x+1)
μx=x3-1 μ'x=3x2
vx=x2+x+1 v'x=2x+1
f'x=x2+x+13x2-x3-1(2x+1)(x2+x+1)2
f'x=3x4+3x3+3x2-(2x4+x3-2x-1)(x2+x+1)2
f'x=3x4+3x3+3x2-2x4-x3+2x+1(x2+x+1)2f'x=x4+2x3+3x2+2x+1(x2+x+1)2
f'x=x4+2x3+3x2+2x+1x4+2x3+3x2+2x+1=1

EJERCICIOS:

1.-fx=3x3-2x2-6x+7
f'x=33x3-1-22x2-1-6+0
x=9x2-4x-6f'

2.-fx=10x9+9x8+3x7+2x6+3x5-2
f'x=109x9-1+98x8-1+37x7-1+26x6-1+35x5-1-0
f'x=90x8+72x7+21x6+12x5+15x4

3.-fx=10000-244
f'x=1-4274-1
f'x=1-1083

4.-fx=x2-2x+1(x2+2x+1)
μx=x2-2x+1 μ'x=2x-2
vx=x2+2x+1 v'x=2x+2
f'x=2x-2x2+2x+1+x2-2x+1(2x+1)f'x=2x3+4x2+2x-2x2-4x-2+2x3+2x2-4x2-4x+2x+2
f'x=4x3-4x

5.-fx=x3-1(x2-1)
μx=x3-1 μ'x=3x3 f'x=3x2x2-1+x3-1(2x)
vx=x2-1 v'x=2x f'x=3x4-3x2+2x4-2x
f'x=5x4-3x2-2x
6.-fx=(x3+3x2+3x+1)(x2+2x+1)2
μx=x3+3x2+3x+1 μ'x=3x2+6x+3
vx=x2+2x+1 v'x=2x+2
f'x=x2+2x+13x2+6x+3-x3+3x2+3x+1(2x+2)(x2+2x+1)2
f'(x)=3x4+6x3+3x2+6x3+12x2+6x+3x2+6x+3(x2+2x+1)2...