Matematicas Definición de derivada

º.- Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
Un ejemplo de la definición de derivada es la siguiente:
Otro concepto de derivada se determinaría que es un término que puede utilizarse comosustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente la derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una únicavariable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.


DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).
Función derivada
Ejemplos
Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.Función derivada
Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
Función
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 sondistintas, la función no es derivable en dicho punto.
gráfica
Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.
función
No es derivable en x = 0.
gráfica
Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
cálculo de derivadas
La función escontinua en toda R.
cálculo de derivadas
f'(−2)− = −1f'(−2)+ = 1
No será derivable en: x= -2.
cálculo de derivadas
En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.
Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.



Regla de la cadena
En calculo, la regla de la cadena es una formula para la derivada de lacomposición de dos funciones
En términos intuitivos, si una variable Y, depende de una segunda variable μ, que a la vez depende de una tercera variable X, entonces la razón de cambio de Y con respecto a X puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de Y a μ multiplicado por la razón de cambio de μ con respecto a X.
Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una funciónderivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable y :

Ejemplo: Si y = 3u15y u = 2x - 1, entonces la derivada es el producto de:
(15)(3u14)(2) = 90u14. Finalmente, al sustituir a u por 2x -2, tenemos que la derivada es 90(2x - 1)14.
Ejemplo: cálculo de derivadas

 Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.

Resolución:

• La función sen x2 es una función compuestade otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.





• Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2



• Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] • f'(x) = 2x cos x2



Resolución:









• De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,



• Por la regla de la cadena,



Regla dela cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m • xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m



Aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)m]' = m • u(x)m - 1 • u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,...