Delta dirac

Función impulso unitario – Función Delta de Dirac

Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circutitos eléctricos) de granmagnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga elétrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuertegolpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat debeisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza. Por tanto, estos fenómenos se comportan de la manera que en un intervalo mínimode tiempo experimentan fuerzas muy grandes y a su vez esta fuerza se disipa instantáneamente.
Definición Impulso Unitario:

donde , se conoce como la función impulso unitario. La gráfica de lafunción escalón para y se muestra en la siguiente figura:

Observación: para valores pequeños de, se tiene que es una función constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededorde t0.
En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado función de Dirac.
 La función delta de Dirac está dada por

Observación: la función delta de Dirac, no es unafunción, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).
 La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades

El impulso unitario se llama función delta deDirac.

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.

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Ejemplo:
Resolver 
sujeta a:
a) 
b) Solución:
Para el inciso a:
Usando la transformada de Laplace obtenemos:

Usando la transformada inversa obtenemos:

Para el inciso b:
Usando la transformada de Laplace obtenemos:

 

Usando...