Delta de dirac

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LA DELTA DE DIRAC

1.0. Definición intuitiva.

La definición que a continuación expongo de la Delta de Dirac es la que normalmente se expone en una carrera de ingeniería. Es una definición queparte de una "abstracción física": un choque o golpe en mecánica o un "chispazo" en electricidad.
Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante unperiodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energía cinética la fuerza f aplicada nos determina la duración t para alcanzar dicha energía cinética. Si aumentamos f el tiempo necesarioserá menor. En el límite cuando t tiende a 0 tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sería el equivalente físico a un "martillazo": un golpe instantáneo de gran fuerza.
De esta forma definimos laDelta de Dirac como una "función" que vale 0 en todos los puntos salvo en el origen que vale infinito y cuya area (integral de -infinito a +infinito) vale 1:

Gráficamente la Delta de Dirac sedibuja como una flecha vertical en el lugar en que toma el valor infinito.

Los matemáticos más "teóricos" en el tema consideran un sacrilegio matemático el referirse a la Delta de Dirac como unafunción. Nótese que una función es una aplicación de un conjunto en otro y para definir una función basta con dar la imagen que tiene cada elemento del dominio (conjunto sobre el que está bien definidanuestra función). Sin embargo para la Delta de Dirac no es suficiente con dar el valor de sus imágenes: es necesario indicar que su area vale 1. De hecho la función Delta y la función 2*Delta toman losmismos valores y sin embargo las consideraremos funciones distintas. Así mismo en determinados contextos se suele decir que dos funciones son iguales para casi todo t si sólo difieren en un conjuntofinito o numerable de elementos del dominio. En nuestro caso no aplicaremos esta relación de equivalencia nunca, ya que entonces la función Delta y la función identicamente nula ( f(t)=0 ) serían...
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