Demostración Topológica De La Infinitud De Los Números Primos

Una prueba topol´gica de la infinitud de los o n´meros primos u
Jes´s Antonio Mu˜oz Zepeda u n Centro de Estudios en F´ ısica y Matem´ticas a Universidad Aut´noma de Chiapas o
XLV Congreso Nacional de la Sociedad Matem´tica Mexicana a

30 de Octubre de 2012

Jes´s Antonio Mu˜oz Zepeda u n

Una prueba topol´gica de la infinitud de los n´meros primos o u

Un resultado bien conocido en lateor´ elemental de n´meros dice ıa u que el conjunto de los n´meros primos es infinito. Existen varias u demostraciones de este resultado, la primera de ellas atribu´ a ıda Euclides; en esta pl´tica detallaremos la demostraci´n de este a o hecho, con el enfoque topol´gico que realiz´ el matem´tico o o a israel´ Hillel Furstenberg, utilizando conceptos b´sicos de la ı a topolog´ general, comoconjuntos abiertos y conjuntos cerrados. ıa

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Una prueba topol´gica de la infinitud de los n´meros primos o u

Definici o n ´ Sea X un conjunto no vac´ Una colecci´n τ de subconjuntos de X ıo. o es una topolog´ sobre X si τ satisface las siguientes propiedades: ıa 0, X pertenecen a τ / Si {Cα : α ∈ A } ⊆ τ entonces
α∈A

1 2

Cα ∈ τ, es decir,
n

la uni´n decualquier n´mero de elementos de τ pertenece a τ. o u
3

Si C1 , C2 , C3 , · · · , Cn ∈ τ entonces
i=1

Ci ∈ τ, es decir,

la intersecci´n de un n´mero finito de elementos de τ o u pertenece a τ.

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Una prueba topol´gica de la infinitud de los n´meros primos o u

A los elementos de τ se les llama conjuntos abiertos y al par (X , τ) se le dice espaciotopol´gico. o Definici o n ´ Sean (X , τ) un espacio topol´gico y A ⊂ X . Decimos que A es o cerrado si y s´lo si X \A es abierto, es decir, X \A ∈ τ. o Por la definici´n de topolog´ y por la leyes de De Morgan es f´cil o ıa a notar que la uni´n finita de conjuntos cerrados es un conjunto o cerrado y que la intersecci´n arbitraria de conjuntos cerrados es un o conjunto cerrado.

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Una prueba topol´gica de la infinitud de los n´meros primos o u

Para probar que el conjunto P de n´meros primos es infinito, u necesitamos hallar un espacio topol´gico apropiado, el cual o construiremos enseguida. Sea X = Z. Para cualesquiera a, b ∈ Z con b > 0 definimos el conjunto: Ja,b = {a + nb : n ∈ Z} = a + Zb M´s expl´ a ıcitamente, Ja,b = {a, a ± b, a ± 2b, a ± 3b, . . . } A estetipo de conjuntos se le conoce como progresiones aritm´ticas. e

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Una prueba topol´gica de la infinitud de los n´meros primos o u

Definamos un conjunto G ⊆ Z como abierto si es vac´ o para ıo, cada a ∈ G existe alg´n entero positivo b tal que Ja,b ⊆ G . u Denotemos por τ la colecci´n de todo conjunto abierto distinto de o vac´ como se acaba de definir uni´n elconjunto formado por el ıo o vac´ Esto es: ıo. τ = {G ⊆ Z \ {0} : ∀a ∈ G , ∃ b > 0 tal que Ja,b ⊆ G } / {0} /

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Una prueba topol´gica de la infinitud de los n´meros primos o u

Notemos que el par (Z, τ) es un espacio topol´gico. o 0 ∈ τ por definici´n. / o Dado a ∈ Z existe b entero positivo tal que Ja,b ⊆ Z. Por lo tanto, Z ∈ τ.

Jes´s Antonio Mu˜oz Zepeda u nUna prueba topol´gica de la infinitud de los n´meros primos o u

Sea {Gi : i ∈ A } una colecci´n de elementos de τ. o Por demostrar: Gi ∈ τ
i∈A

Sea a ∈
i∈A

Gi , entonces a ∈ Gi0 , para alg´n i0 ∈ A . Puesto que u Gi .
i∈A

Gi0 ∈ τ, existe un entero positivo b tal que Ja,b ⊆ Gi0 ⊆ Por lo tanto,
i∈A

Gi ∈ τ.

Jes´s Antonio Mu˜oz Zepeda u n

Una prueba topol´gica de la infinitudde los n´meros primos o u

Sean G1 , G2 ∈ τ. Por demostrar: G1

G2 ∈ τ

Sea a ∈ (G1 G2 ). Como G1 y G2 son abiertos, existen enteros positivos b1 y b2 tales que Ja,b1 ⊆ G1 y Ja,b2 ⊆ G2 . Afirmamos que Ja,b1 b2 ⊆ (G1 G2 ) Sea x ∈ Ja,b1 b2 entonces, para alg´n n ∈ Z, se tiene que u x = a + n(b1 b2 ) = a + (nb2 )b1 = a + (nb1 )b2 luego, x ∈ Ja,b1 ⊆ G1 y x ∈ Ja,b2 ⊆ G2 . Se sigue que x ∈ (G1...