demostracion directa e indirecta

Capítulo 2. Demostración matemática.

El propósito de este capítulo es describir y ejercitarse en algunas de las técnicas de demostración más importantes: la demostración directa, la demostración indirecta, la demostración por contraposición y la demostración por reducción al absurdo.
Cuando veamos las características de cada uno de estos métodos, podremos ver con cierta claridad cuándo esuno de ellos preferible a los otros. Empecemos estudiando conjuntamente los dos primeros: demostración directa y demostración indirecta.

Los métodos de demostración directa e indirecta
Cuando quieres probar que la proposición “Si A entonces B” es verdadera, lo primero que tienes que hacer es reconocer quién es la proposición A y quién es B. Por lo general, todo lo que está entre las palabras“si” y “entonces” constituye la proposición A, y todo lo que está después de “entonces”, la B.
Otra forma de reconocerlo: todo lo que supones que es cierto, o sea, la hipótesis, es A y todo lo que tienes que probar que es cierto, o sea, la tesis, es B.
Consideremos el siguiente ejemplo:
Proposición: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área , entonces es isósceles.En este ejemplo tenemos las proposiciones A “El triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área ” y B “ El triángulo rectángulo XYZ es isósceles”.
Si recuerdas los ejercicios que has hecho en el capítulo 1 en el apartado «Algo sobre la proposición “Si A entonces B”», cuando quieres probar que “A implica B”, puedes suponer que A es verdadera y usar de alguna forma estainformación para concluir que B es verdadera.

El método de demostración indirecta
En el método de demostración indirecta, debes empezar preguntándote: “¿Cómo, o cuándo, debo concluir que la proposición B es verdadera?” Esta pregunta debes hacerla de forma general. En el ejemplo anterior, pongamos por caso, la pregunta (general) es: “¿Cómo puedo probar que un triángulo es isósceles?”
Estapregunta, obtenida de la proposición B, la llamaremos en lo que sigue la pregunta clave. Una pregunta clave bien planteada no debería contener ni símbolos ni otras notaciones (salvo números) del problema que se está considerando. La llave para muchas demostraciones es formular correctamente la tal pregunta clave.
Una vez que has planteado la pregunta clave, tu paso siguiente en este método seráresponderla. Volviendo al ejemplo anterior, ¿cómo puedo probar que un triángulo es isósceles? Obviamente, una forma es probando que dos de sus lados tienen la misma longitud. Considerando nuestra figura, deberías probar que x  y. Observa que en la respuesta a la pregunta clave hay dos fases: en primer lugar, das una respuesta general que no contiene símbolos del problema planteado: demostrar que untriángulo es isósceles, es demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud. Luego, aplicas esta respuesta a la situación en cuestión: demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud, significa demostrar que x  y (no que x  z ó y  z).
Con el método de demostración indirecta, has construido una nueva proposición, B1, que tiene la propiedad de que si puedes demostrar que B1, es verdadera,entonces B lo será. En nuestro ejemplo, la nueva proposición es B1: x  y.
Si puedes probar que x  y, entonces el triángulo XYZ es isósceles. Una vez que has planteado la proposición B1, todos tus esfuerzos deberían dirigirse a intentar llegar a la conclusión de que B1 es verdadera, pues entonces seguiría que B es verdadera. ¿Cómo puedes demostrar que B1 es verdadera? ¿Cómo puedes plantear unanueva pregunta clave para B1?
Puesto que x e y son longitudes de dos lados de un triángulo, una pregunta clave razonable podría ser “¿cómo puedo probar que las longitudes de dos lados de un triángulo son iguales?”. Otra, igualmente razonable, sería “¿cómo puedo probar que dos números reales son iguales?” Al fin y al cabo, x e y son números reales.
Una de las dificultades que pueden...