Densidad de los números reales y su ubicación en la recta real.

Densidad del orden:

Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro número racional tal que .
Para ello, si ,con b y d positivos, basta con tomar .

Ejercicio: probar que efectivamente (por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)
Ahora bien,reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitosracionales distintos,

Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos así 3/5 < ...... < 11/18< 8/13 < 5/8 < 2/3.
Por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente oanterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

Tanto los números racionales como losirracionales se llaman números reales. El conjunto de los números reales se designa por R. Los números reales llenan la recta numérica por eso se lellama recta real.
Se puede representar gráficamente el conjunto de los reales, en la que cada punto representa un número.
Se establece de estaforma, una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto "es" unnúmero real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de los números reales, se seguirá llamando: recta real, ó, también, recta numérica.