Derecho

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CONJUNTO VACÍO

En matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el único conjunto que no contiene elementos. En la axiomática de Teoría de conjuntos se postula elaxioma del conjunto vacío. Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.
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Notación
El conjunto vacío es denotado por cualquiera de estos símbolos:derivada de la letra Ø (introducida especialmente por André Weil) en 1939.
Otra notación común para el conjunto vacío es:

Propiedades
(Aquí usaremos símbolos usados en matemáticas.)
Para todoconjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:

Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:

Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta el conjuntovacío:

Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo, el conjunto vacío:

El número de elementos delconjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito:

que se puede expresar:

Para cualquier propiedad se tiene:
para todo elemento del lapropiedad es cierta (por vacuidad)
no hay elementos en el para los cuales la propiedad sea cierta
Entonces: si, para alguna propiedad, las dos proposiciones siguientes son ciertas:
para todoelemento de V la propiedad es cierta
y no hay elementos en V que cumplan la propiedad
por lo tanto

Los matemáticos generalmente hablan de 'el conjunto vacío' y no de 'un' conjunto vacío, pues enTeoría de conjuntos, dos conjuntos son iguales si y sólo si uno es subconjunto del otro y viceversa, i.e. tienen los mismos elementos. En conclusión, sólo hay un conjunto vacío.
[editar] Problemas comunesEl conjunto vacío, a pesar de contener nada, sigue siendo algo en sí mismo: un conjunto. Esta distinción es importante si situamos a los conjuntos en un contexto. Por ejemplo, si imaginamos a los...
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