deries de potencia

SERIES DE POTENCIAS
DIFERENCIACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
Teorema (II).
Si
es una serie de potencias con un radio de convergencia
entonces la serie
también tiene a
como su radio deconvergencia.
Teorema (III).
Si el radio de convergencia de
radio de convergencia de la serie

es

entonces

también es el

Teorema (IV).
Una serie de potencias
define una función cuyo dominio esel
intervalo de convergencia de la serie, donde:

Ejercicios.
1.- Verificar el teorema (II) en la serie
Aplicando la prueba de la razón, tenemos:

radio de convergencia
Evaluamos la derivada:Aplicamos la prueba de la razón:

radio de convergencia

2.- Determine el dominio de

De acuerdo al ejercicio anterior, el intervalo de convergencia de la serie asociada a esta
función es
.Entonces vamos a verificar los extremos para construir el
conjunto de valores dominio de

Si

la serie es:
la cual es convergente porque es la serie

Si

con

.

la serie es:
la

ycual

es

convergente

porque

Veamos:
se cumple
se cumple

Entonces el dominio de

es [-1, 1]

Teorema (V).
Si una función está definida por una serie de potencias, y esta serie depotencias
se diferencia término a término, la serie de potencias resultante (la cual define a
´) tiene el mismo radio de convergencia pero no necesariamente el mismo
intervalo de convergencia.Ejemplo. Podemos demostrar este teorema determinando el dominio de
el ejemplo anterior.

en

Sabemos que esta serie tiene un radio de convergencia de 1,
Evaluaremos sólo los extremos para hallarel intervalo de convergencia y compararlo con
el de

Si

la función es

Comprobamos el límite:
Luego
Si

es convergente en
la función es

Esta función es continua, decreciente y devalores positivos, por ello:

En este valor de la serie diverge, por lo tanto el intervalo de Convergencia es
[-1, 1). Y el dominio de
es [-1,1). Nótese que el dominio de
es [-1, 1] lo
que...