Derivacion Implicita

Derivación implícita

 Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma  y = f (x); esto es cuando se da  y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación,como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que  y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y  puede definir a más de unafunción implícita.

          En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.    

          Es posible hallar la derivada de una función expresadaimplícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

 

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo,puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables x e y:

Diferenciación
Para poder derivar una función implícita se usa la regla de lacadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variableindependiente:
Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .
Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términosde la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

Ejemplo
Obtener la derivada de:

El término se puede considerar que son dos funciones, y por lo que se derivará comoun producto:

El término se deriva como:

El término se deriva de forma normal como:

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valorconstante.

El término se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando:

Factorizando respecto a ( ) los valores son:

Finalmente...