Derivacion

iencia1
3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Supóngase que las variables x e y, están relacionadas por alguna ecuación de la forma:
F(x, y) = 0

(1).

Asi, son ecuaciones de esta forma las siguientes:x 2 + y 2 − 25 = 0
x 3 + xy 2 + y 6 = 0
y3 + 7 y = x3
x 2 + y 2 + 25 = 0

(2)
(3)
(4)
(5)

Definición:
Si una función f, definida en un intervalo I es tal que la ecuación (1) se transformaen una
identidad cuando la variable y se reemplaza por f(x), se dice que f está definida implícitamente
por medio de la ecuación (1).
Asi por ejemplo, la ecuación (2) define implícitamente lassiguientes funciones:
y = − 25 − x 2

e

[− 5, 5] .

en el intervalo

La sustitución de cada una de éstas funciones en
x 2 + 25 − x 2 − 25 ≡ 0 .

(

y = 25 − x 2

)

(2)

da lugar a lasiguiente identidad:

Observación:
No toda ecuación de la forma F(x, y) = 0, define de manera implícita una función, como sucede por
ejemplo, con la ecuación (5), para la cual no existe ningunapareja (x, y) que la satisfaga dado que
x 2 + y 2 + 25 es siempre un número positivo.

dy
en una ecuación de la forma F(x, y) = 0 y en la cual
dx
y es una función implícita de x, como por ejemploen la ecuación: x 2 + y 2 − 25 = 0 .

Supóngase ahora, que se quiere calcular

Al despejar y, se generan dos funciones (ramas de circunferencia) en el intervalo [− 5, 5] :

y = f ( x) =

(25 − x 2 = 25 − x 2

(

)

1/ 2

y = g ( x ) = − 25 − x 2 = − 25 − x 2

)

1/ 2

(6)
(7)

De (6) se deduce que:
1

2

(

dy 1
= (− 2 x ) 25 − x 2
dx 2
dy
x
=−
dx
25 −x 2

)

−1 / 2

=−

x
y

dy
1
= − (− 2 x ) 25 − x 2
dx
2

(R.D.9.)

)

(

)

1/ 2

(8)

De (7) se tiene:

(

dy
x
=
dx
25 − x 2

(

)

1/ 2

=

(

−1 /2

−x

− 25 − x

(R.D.9.)

)

2 1/ 2

=−

x
y

(9)

De (8) y (9) se deduce que independientemente de la elección de la función y, el resultado de la
derivada es el mismo....