derivada de una funcion

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El problema de la tangente
Históricamente, el concepto de derivada surge al dar respuesta al llamado problema de la tangente. Los griegos de la antigüedad clásica sabían determinar la recta tangente a una curva en un punto, si ´esta era una cónica; es decir, una elipse, una parábola o una hipérbola (recuérdese que la circunferencia es un caso especial deelipse, concretamente el caso de semiejes iguales). Sin embargo, hasta la creación del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz (Siglo XVII) no se conocía ningún método para determinar la recta tangente en un punto de una curva arbitraria.
Vamos a ver cómo, al dar respuesta a este problema, surge el concepto de derivada de una función en un punto. Sea f una función real de variable real y x0 unpunto de su dominio D. Si queremos encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = f(x), sólo necesitamos determinar la pendiente de dicha recta (recuérdese que la pendiente de un recta es la tangente del ´ángulo que forma con la dirección positiva del eje OX).
Como debe pasar por el punto P0(x0, f(x0)), la ecuación de la recta tan- gente tendrá la forma y − f(x0) = m(x −x0), siendo m la pendiente de la recta en cuestión. Por tanto, el problema se reduce a idear alguna forma de determinar la pendiente m de la recta tangente.

Si escogemos un valor de x cercano a x0, se ocurre considerar la recta que pasa por P0 y P(x, f(x)). Nos referiremos a ella como la cuerda que pasa por los puntos P0 y P. Si observamos con cuidado la figura, veremos que es fácil determinar elvalor de la pendiente de la cuerda PP0. Concretamente, si mx denota la pendiente de dicha cuerda, tenemos

El cociente recibe el nombre de cociente incremental y su valor es precisamente la pendiente de la cuerda PP0. Ahora, el paso fundamental es darse cuenta de que la cuerda PP0 tiende a convertirse en lo que entendemos por recta tangente, a medida que el punto P(x, f(x)) se acerca a P0. Y,para que esto ocurra, basta con que se tome x cada vez más cercano a x0. Esta es la idea crucial: comprender que, si el cociente incremental es la pendiente de la cuerda PP0, entonces la pendiente de la recta tangente se puede encontrar calculando el límite de dicho cociente cuando x tiende a x0. De esta forma llegamos a la expresión


Así queda resuelto el problema de la tangente y se pone demanifiesto el interés de estudiar con detenimiento el límite anterior. No es esta la única aplicación de la derivada sino que se trata tan sólo de la primera de entre las numerosas aplicaciones que se encontraron con posterioridad, algunas de las cuales se irán estudiando a lo largo del curso.

Los conceptos de derivada y de diferencial de
Una función en un punto
Si existe y es finito ellímite siguiente
Se denota por f_(x0) y se denomina derivada de f en el punto x0.
El apartado anterior nos permite obtener una interpretación geométrica de f_(x0): representa la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación y = f(x) en el punto (x0, f(x0)). Por tanto, la ecuación de dicha recta tangente tiene la forma
y = f(x0) + f_(x0) ・ (x − x0).
Vamos a ver otra aplicación delconcepto de derivada en relación con el problema de la aproximación de funciones complicadas por medio de funciones más simples. Una función polinómica de primer grado g(x) = ax + b recibe el nombre de función afín. Si una función f es derivable en x0, probaremos que puede aproximarse f(x) por una función afín t(x), para valores de x cercanos a x0. Sabemos que, si tomamos x suficientemente cercano ax0, el cociente incremental tendrá un valor aproximado a su límite f_(x0); es decir, podemos escribir


Por tanto f(x) − f(x0) ≈ f_(x0) ・ (x − x0) para x ≈ x0.
Si despejamos f(x), resulta
f(x) ≈ f(x0) + f_(x0) ・ (x − x0) para x ≈ x0.
Esto nos dice que la función afín t(x) = f(x0)+f_(x0) ・ (x−x0) es una buena aproximación de f(x), tanto mejor en cuanto x sea más próximo a x0 (nótese...